कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16)$ , $y (\ln (2)) = 0$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 4 e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $4$ बटे $t$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int e^{4 t} \sin (e^{4 t} - 16) d t$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u_{2} = e^{4 t} - 16$ .फिर $d u_{2} = 4 e^{4 t} d t$ , तो $\frac{1}{4} d u_{2} = e^{4 t} d t$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u_{2} = e^{4 t} - 16$ . $\frac{d u_{2}}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$e^{4 t} - 16$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} - 16]$

चरण 2.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $e^{4 t} - 16$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$ है.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}] + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d t} [e^{4 t}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{4 t} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{4 t} \cdot 4 + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.3.5

$4$ को $e^{4 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 e^{4 t} + \frac{d}{d t} [- 16]$

चरण 2.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.4.1

चूंकि $t$ के संबंध में $- 16$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 e^{4 t} + 0$

चरण 2.3.2.1.4.2

$4 e^{4 t}$ और $0$ जोड़ें.

$4 e^{4 t}$

चरण 2.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

चरण 2.3.3

$\sin (u_{2})$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{\sin (u_{2})}{4} d u_{2}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ और $4$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.5.2

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{4}{4} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.5.3

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

चरण 2.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का इंटीग्रल $- \cos (u_{2})$ है.

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{4 t} - 16$ से बदलें.

$y + C_{1} = - \cos (e^{4 t} - 16) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$

चरण 3

$t$ के लिए $\ln (2)$ और $y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$ में $y$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$0 = - \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \cos (e^{4 \ln (2)} - 16) + K = 0$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$4$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $4 \ln (2)$ को सरल करें.

$- \cos (e^{\ln (2^{4})} - 16) + K = 0$

चरण 4.2.1.1.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$- \cos (2^{4} - 16) + K = 0$

चरण 4.2.1.1.3

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \cos (16 - 16) + K = 0$

चरण 4.2.1.2

$16$ में से $16$ घटाएं.

$- \cos (0) + K = 0$

चरण 4.2.1.3

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

चरण 4.2.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + K = 0$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$K = 1$

चरण 5

$1$ को $y = - \cos (e^{4 t} - 16) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$1$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = - \cos (e^{4 t} - 16) + 1$