कैलकुलस उदाहरण

$(2 x y) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y d x$ घटाएं.

$(x^{2} + 1) d y = - 2 x y d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(x^{2} + 1) y$ में से $x^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- 2 x y) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.3

$- 2$ और $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

चरण 3.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$(x^{2} + 1) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

चरण 3.4.2

$x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 4.3.4.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.3.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

चरण 4.3.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| y | | x^{2} + 1 |) = C$

चरण 5.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| y (x^{2} + 1) |) = C$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| y x^{2} + y \cdot 1 |) = C$

चरण 5.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y x^{2} + y |) = C$

चरण 5.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y x^{2} + y |)} = e^{C}$

चरण 5.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y x^{2} + y |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | y x^{2} + y |$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

समीकरण को $| y x^{2} + y | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y x^{2} + y | = e^{C}$

चरण 5.8.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y x^{2} + y = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3

$y x^{2} + y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.3.1

$y x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3.2

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y (x^{2}) + y = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3.3

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2}) + y \cdot 1 = \pm e^{C}$

चरण 5.8.3.4

$y (x^{2}) + y \cdot 1$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$

चरण 5.8.4

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.1

$y (x^{2} + 1) = \pm e^{C}$ के प्रत्येक पद को $x^{2} + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

चरण 5.8.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.2.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

चरण 5.8.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x^{2} + 1}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C}{x^{2} + 1}$