कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = y + 4 x - 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} = y + 4 x - 2 - 2 x y$

चरण 1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 4 x + y - 2$

चरण 1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{d y}{d x} = (- 2 x y + 4 x) + y - 2$

चरण 1.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 2) - 1 (- y + 2)$

चरण 1.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- 1 y + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 2) (2 x - 1)$

चरण 1.2.4

$- 1 y$ को $- y$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = (- y + 2) (2 x - 1)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{- y + 2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

चरण 1.4

$- y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 2} ((- y + 2) (2 x - 1))$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- y + 2} \frac{d y}{d x} = 2 x - 1$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{- y + 2} d y = (2 x - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{- y + 2} d y = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = - y + 2$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = - y + 2$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 2.2.1.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2.2

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $- y + 2$ से बदलें.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$- \ln (| - y + 2 |) + C_{1} = x^{2} - x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- \ln (| - y + 2 |) = x^{2} - x + C$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \ln (| - y + 2 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\ln (| - y + 2 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.2.2

$\ln (| - y + 2 |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| - y + 2 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

ऋणात्मक को $\frac{x^{2}}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| - y + 2 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ को $- x^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{- x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.3.1.3

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.3.1.4

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x + \frac{C}{- 1}$

चरण 3.1.3.1.5

ऋणात्मक को $\frac{C}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - 1 \cdot C$

चरण 3.1.3.1.6

$- 1 \cdot C$ को $- C$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$

चरण 3.2

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| - y + 2 |)} = e^{- x^{2} + x - C}$

चरण 3.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| - y + 2 |) = - x^{2} + x - C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- x^{2} + x - C} = | - y + 2 |$

चरण 3.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण को $| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| - y + 2 | = e^{- x^{2} + x - C}$

चरण 3.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$- y + 2 = \pm e^{- x^{2} + x - C}$

चरण 3.4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$

चरण 3.4.4

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$- y = \pm e^{- x^{2} + x - C} - 2$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.4.4.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1

$\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

चरण 3.4.4.3.2

$\frac{- 2}{- 1}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.4.4.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $1$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.3.1

$\frac{\pm e^{- x^{2} + x - C}}{- 1}$ को $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.4.4.3.3.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

चरण 3.4.4.3.3.3

$\frac{- 2}{- 1}$ को $\frac{- 1}{- 1}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

चरण 3.4.4.3.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

चरण 3.4.4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{(\pm e^{- x^{2} + x - C}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

चरण 3.4.4.3.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.5.1

$- 1$ को $\pm e^{- x^{2} + x - C}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

चरण 3.4.4.3.5.2

$- 1 (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ को $- (\pm e^{- x^{2} + x - C})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) - 2 \cdot - 1}{1}$

चरण 3.4.4.3.5.3

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2}{1}$

चरण 3.4.4.3.6

$- (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x - C}) + 2$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x + C}) + 2$

चरण 4.2

$e^{- x^{2} + x + C}$ को $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + x} e^{C}) + 2$

चरण 4.3

$e^{- x^{2} + x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2} + x}) + 2$

चरण 4.4

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = - (C e^{- x^{2} + x}) + 2$