कैलकुलस उदाहरण

$(1 - x^{2}) (1 - y) d x = x y (1 + y) d y$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$x y (1 + y) d y = (1 - x^{2}) (1 - y) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (1 - y)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$x y (1 + y)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (1 - y)} (x (y (1 + y))) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 - y} (y (1 + y)) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.2

$y$ और $\frac{1}{1 - y}$ को मिलाएं.

$\frac{y}{1 - y} (1 + y) d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.3

$\frac{y}{1 - y}$ को $1 + y$ से गुणा करें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x (1 - y)} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.4

$1 - y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$x (1 - y)$ में से $1 - y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - x^{2}) (1 - y)) d x$

चरण 3.4.2

$(1 - x^{2}) (1 - y)$ में से $1 - y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{(1 - y) x} ((1 - y) (1 - x^{2})) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1}{x} (1 - x^{2}) d x$

चरण 3.5

$\frac{1}{x}$ को $1 - x^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

चरण 3.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{1^{2} - x^{2}}{x} d x$

चरण 3.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y (1 + y)}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\int \frac{y \cdot 1 + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1 \cdot y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{y + y \cdot y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.3

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{y + y^{1} y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.4

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \frac{y + y^{1} y^{1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int \frac{y + y^{1 + 1}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.6

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \frac{y + y^{2}}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.7

$y$ और $y^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{y^{2} + y}{1 - y} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.8

$1$ और $- y$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{y^{2} + y}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.9

$y^{2} + y$ को $- y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.9.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y^{2}$

$y$

$0$

चरण 4.2.9.2

भाज्य $y^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$

चरण 4.2.9.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				+	$y^{2}$	-	$y$

चरण 4.2.9.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y^{2} - y$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$

चरण 4.2.9.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$

चरण 4.2.9.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				-	$y$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

चरण 4.2.9.7

भाज्य $2 y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $- y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$

चरण 4.2.9.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						+	$2 y$	-	$2$

चरण 4.2.9.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $2 y - 2$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$

चरण 4.2.9.10

				-	$y$	-	$2$
-	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$y$	+	$0$
				-	$y^{2}$	+	$y$
						+	$2 y$	+	$0$
						-	$2 y$	+	$2$
								+	$2$

चरण 4.2.9.11

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int - y - 2 + \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int - y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.11

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.12

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$- (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.14

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + \int \frac{2}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.15

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.16

मान लीजिए $u = - y + 1$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.16.1

मान लें $u = - y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.16.1.1

फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1}$

चरण 4.2.16.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 4.2.16.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.17

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.18

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} + 2 (- \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.19

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.20

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$- (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} - 2 (\ln (| u |) + C_{3}) = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.21

सरल करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| u |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.2.22

$u$ की सभी घटनाओं को $- y + 1$ से बदलें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

चरण 4.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

चरण 4.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

चरण 4.3.4.2

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

चरण 4.3.4.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 4.3.4.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 4.3.4.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

चरण 4.3.5

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

चरण 4.3.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

चरण 4.3.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

चरण 4.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

चरण 4.3.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

चरण 4.3.10

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

चरण 4.3.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.11.1

$0$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

चरण 4.3.11.2

$1$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

चरण 4.3.12

$- x^{2} + 1$ को $x$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.12.1

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

चरण 4.3.12.2

भाज्य $- x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

चरण 4.3.12.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

चरण 4.3.12.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- x^{2} + 0$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

चरण 4.3.12.5

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

चरण 4.3.12.6

मूल भाज्य से अगले पद को वर्तमान लाभांश में नीचे खींचें.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

चरण 4.3.12.7

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.13

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.14

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.15

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.16

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

चरण 4.3.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.17.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + \ln (| x |) + C_{6}$

चरण 4.3.17.2

सरल करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) + C_{4} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{7}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 2 y - 2 \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$