कैलकुलस उदाहरण

$(\frac{x}{y}) d y + (1 + \ln (y)) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(1 + \ln (y)) d x$ घटाएं.

$\frac{x}{y} d y = - (1 + \ln (y)) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x (1 + \ln (y))} \cdot \frac{x}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + \ln (y)} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{1 + \ln (y)}$ को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + \ln (y)) y} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

चरण 3.3

गुणनखंडों को $\frac{1}{(1 + \ln (y)) y}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (- (1 + \ln (y))) d x$

चरण 3.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

चरण 3.5

$1 + \ln (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- \frac{1}{x (1 + \ln (y))}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x (1 + \ln (y))} (1 + \ln (y)) d x$

चरण 3.5.2

$x (1 + \ln (y))$ में से $1 + \ln (y)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

चरण 3.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{(1 + \ln (y)) x} (1 + \ln (y)) d x$

चरण 3.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \frac{- 1}{x} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = - \frac{1}{x} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = \ln (y)$ .फिर $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , तो $y d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = \ln (y)$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$\ln (y)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

चरण 4.2.1.1.2

$y$ के संबंध में $\ln (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{y}$ है.

$\frac{1}{y}$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.2

मान लीजिए $u_{2} = 1 + u_{1}$ . फिर $d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

मान लें $u_{2} = 1 + u_{1}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1.1

$1 + u_{1}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

चरण 4.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $u_{1}$ के संबंध में $1 + u_{1}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ है.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 4.2.2.1.3

चूंकि $u_{1}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

चरण 4.2.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$0 + 1$

चरण 4.2.2.1.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.3

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $1 + u_{1}$ से बदलें.

$\ln (| 1 + u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.2.4.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\ln (y)$ से बदलें.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

चरण 4.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 4.3.3

सरल करें.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) = - \ln (| x |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + \ln (y) |) + \ln (| x |) = C$

चरण 5.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (| 1 + \ln (y) | | x |) = C$

चरण 5.3

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$\ln (| (1 + \ln (y)) x |) = C$

चरण 5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (| 1 x + \ln (y) x |) = C$

चरण 5.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| x + \ln (y) x |) = C$

चरण 5.5.2

गुणनखंडों को $\ln (| x + \ln (y) x |)$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln (| x + x \ln (y) |) = C$

चरण 5.6

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| x + x \ln (y) |)} = e^{C}$

चरण 5.7

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| x + x \ln (y) |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = | x + x \ln (y) |$

चरण 5.8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

समीकरण को $| x + x \ln (y) | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x + x \ln (y) | = e^{C}$

चरण 5.8.2

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x + x \ln (y) = \pm e^{C}$

चरण 5.8.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $x$ घटाएं.

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$

चरण 5.8.2.3

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.3.1

$x \ln (y) = \pm e^{C} - x$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

चरण 5.8.2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (y)}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

चरण 5.8.2.3.2.1.2

$\ln (y)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

चरण 5.8.2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.3.3.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.2.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

चरण 5.8.2.3.3.1.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

चरण 5.8.2.4

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y)} = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

चरण 5.8.2.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y) = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1} = y$

चरण 5.8.2.6

समीकरण को $y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = e^{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = e^{\frac{C}{x} - 1}$