कैलकुलस उदाहरण

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 \sqrt{x}$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(1 + x^{2}) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

चरण 1.6

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.8

$1$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.9

कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

चरण 1.10

$y$ ले जाएं.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = 3 \sqrt{x}$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int 3 \sqrt{x} d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(1 + x^{2}) y = \int 3 \sqrt{x} d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int \sqrt{x} d x$

चरण 5.2

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$(1 + x^{2}) y = 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{\frac{1}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ है.

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

चरण 5.4

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ को $3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + x^{2}) y = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$3$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$(1 + x^{2}) y = \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.3

$6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.3.1

$6$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.3.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$(1 + x^{2}) y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 + x^{2}) y = \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 5.4.2.3.2.4

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

चरण 6

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(1 + x^{2}) y = 2 x^{\frac{3}{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}} + C}{1 + x^{2}}$