कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 1.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

चरण 1.5

$y$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

चरण 1.6

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x \frac{d y}{d x} + y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x y = \int x d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$\frac{1}{2} x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.1.2.5

$\frac{1}{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

चरण 6.3.1.2

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

चरण 7

$x$ के लिए $1$ और $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ में $y$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

चरण 8

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

समीकरण को $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

चरण 8.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} + C = 2$

चरण 8.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

चरण 8.3.2

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 8.3.3

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 8.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

चरण 8.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.5.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$C = \frac{4 - 1}{2}$

चरण 8.3.5.2

$4$ में से $1$ घटाएं.

$C = \frac{3}{2}$

चरण 9

$\frac{3}{2}$ को $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{3}{2}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

चरण 9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 9.2.2

$\frac{3}{2}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$