कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y \sqrt{y + 1}$ से गुणा करें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}})$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - y \sqrt{y + 1} \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

चरण 1.2.2

$y \sqrt{y + 1}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$- y \sqrt{y + 1}$ में से $y \sqrt{y + 1}$ का गुणनखंड करें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} (- 1) \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

चरण 1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = y \sqrt{y + 1} \cdot - 1 \frac{x^{2} + 1}{y \sqrt{y + 1}}$

चरण 1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - (x^{2} + 1)$

चरण 1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1 \cdot 1$

चरण 1.2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y \sqrt{y + 1} \frac{d y}{d x} = - x^{2} - 1$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y \sqrt{y + 1} d y = (- x^{2} - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y \sqrt{y + 1} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = \sqrt{y + 1}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y (\frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ और ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$y \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.2.2

$y$ और $\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{2}{3}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{2}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} d y) = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.4

मान लीजिए $u = y + 1$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

मान लें $u = y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

चरण 2.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 2.2.4.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.5

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}) = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.1

$\frac{y (2 {(y + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1})$ को $\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{3} y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.1

$\frac{2}{3}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{2 y}{3} {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.2

$\frac{2 y}{3}$ और ${(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.3

$\frac{2}{5}$ को $\frac{2}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.5

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.6

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.7

$- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ और $\frac{4}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.10

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.11

$- 3$ और $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.12

$4$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.13

$- 12 u^{\frac{5}{2}}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.14

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.6.2.14.1

$15$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.14.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.14.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.15

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.16

$2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.17

$2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}}$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.18

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{2 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.19

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.20

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ को फिर से लिखें.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.21

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.6.2.22

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $y + 1$ से बदलें.

$\frac{10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.2.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} - 1 d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = \int - x^{2} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

चरण 2.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{15} (10 y {(y + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(y + 1)}^{\frac{5}{2}}) = - \frac{1}{3} x^{3} - x + K$