कैलकुलस उदाहरण

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y - x^{2} = 0$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x^{2}$ जोड़ें.

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$

चरण 1.2

$x \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

चरण 1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

चरण 1.3.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

चरण 1.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 x y}{x} = \frac{x^{2}}{x}$

चरण 1.4.2

$2 y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x^{2}}{x}$

चरण 1.5

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x}$

चरण 1.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x^{1}}$

चरण 1.5.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

चरण 1.5.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1}$

चरण 1.5.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{x}{1}$

चरण 1.5.2.5

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 d x}$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$

चरण 3.3

गुणनखंडों को $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = x e^{2 x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = x e^{2 x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 x} y = \int x e^{2 x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{2 x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 7.2.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

चरण 7.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

चरण 7.4

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.4.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.4.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

चरण 7.5

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

चरण 7.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

चरण 7.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.7.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

चरण 7.7.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

चरण 7.8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

चरण 7.9

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ को $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

चरण 7.10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

चरण 8

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{2 x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.1.2

$\frac{1}{2} x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.2

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.2.2

$- \frac{1}{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2

$\frac{1}{2} x$ में से $\frac{1}{4}$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को पुन: क्रमित करें.

$y = x \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.2

$x \frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = x \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.3

$x \frac{1}{2}$ और $\frac{4}{4}$ को मिलाएं.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.1

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot 4 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.3.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (2)) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{x \cdot 2 - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.3.3

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{2 x - 1}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.4

$\frac{2 x - 1}{4}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.5

$\frac{C}{e^{2 x}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{2 x - 1}{4} \cdot \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 8.3.6

प्रत्येक व्यंजक को $4 e^{2 x}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.6.1

$\frac{2 x - 1}{4}$ को $\frac{e^{2 x}}{e^{2 x}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}} \cdot \frac{4}{4}$

चरण 8.3.6.2

$\frac{C}{e^{2 x}}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{e^{2 x} \cdot 4}$

चरण 8.3.6.3

$e^{2 x} \cdot 4$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x}}{4 e^{2 x}} + \frac{C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

चरण 8.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{(2 x - 1) e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

चरण 8.3.8

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - 1 e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

चरण 8.3.8.2

$- 1 e^{2 x}$ को $- e^{2 x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C \cdot 4}{4 e^{2 x}}$

चरण 8.3.8.3

$4$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} + 4 C}{4 e^{2 x}}$