कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d r}{d θ} = \frac{r^{2}}{θ}$ , $r (1) = 2$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{r^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{r^{2}}{θ}$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

जोड़ना.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

चरण 1.2.2

$r^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1 r^{2}}{r^{2} θ}$

चरण 1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r^{2}} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{θ}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{r^{2}} d r = \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{r^{2}} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$r^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(r^{2})}^{- 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.2.1.2

घातांक को ${(r^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int r^{2 \cdot - 1} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int r^{- 2} d r = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $r$ के संबंध में $r^{- 2}$ का समाकलन $- r^{- 1}$ है.

$- r^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.2.3

$- r^{- 1} + C_{1}$ को $- \frac{1}{r} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \int \frac{1}{θ} d θ$

चरण 2.3

$θ$ के संबंध में $\frac{1}{θ}$ का इंटीग्रल $\ln (| θ |)$ है.

$- \frac{1}{r} + C_{1} = \ln (| θ |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$

चरण 3

$r$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$r, 1, 1$

चरण 3.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$r$

चरण 3.2

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ के प्रत्येक पद को $r$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- \frac{1}{r} = \ln (| θ |) + C$ के प्रत्येक पद को $r$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$r$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$- \frac{1}{r}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

चरण 3.2.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{r} r = \ln (| θ |) r + C r$

चरण 3.2.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 = \ln (| θ |) r + C r$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

गुणनखंडों को $\ln (| θ |) r + C r$ में पुन: क्रमित करें.

$- 1 = r \ln (| θ |) + C r$

चरण 3.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $r \ln (| θ |) + C r = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$r \ln (| θ |) + C r = - 1$

चरण 3.3.2

$r \ln (| θ |) + C r$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$C r$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$r \ln (| θ |) + r C = - 1$

चरण 3.3.2.2

$r \ln (| θ |) + r C$ में से $r$ का गुणनखंड करें.

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$

चरण 3.3.3

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ के प्रत्येक पद को $\ln (| θ |) + C$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$r (\ln (| θ |) + C) = - 1$ के प्रत्येक पद को $\ln (| θ |) + C$ से विभाजित करें.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

चरण 3.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

$\ln (| θ |) + C$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{r (\ln (| θ |) + C)}{\ln (| θ |) + C} = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

चरण 3.3.3.2.1.2

$r$ को $1$ से विभाजित करें.

$r = \frac{- 1}{\ln (| θ |) + C}$

चरण 3.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$

चरण 4

$θ$ के लिए $1$ और $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ में $r$ के लिए $2$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$2 = - \frac{1}{\ln (| 1 |) + C}$

चरण 5

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण को $- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{\ln (| 1 |) + C} = 2$

चरण 5.2

प्रत्येक पद का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$- \frac{1}{\ln (1) + C} = 2$

चरण 5.2.2

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$- \frac{1}{0 + C} = 2$

चरण 5.2.3

$0$ और $C$ जोड़ें.

$- \frac{1}{C} = 2$

चरण 5.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$C, 1$

चरण 5.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$C$

चरण 5.4

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{C} = 2$ के प्रत्येक पद को $C$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- \frac{1}{C} = 2$ के प्रत्येक पद को $C$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{C} C = 2 C$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$C$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

$- \frac{1}{C}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

चरण 5.4.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{C} C = 2 C$

चरण 5.4.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 = 2 C$

चरण 5.5

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

समीकरण को $2 C = - 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 C = - 1$

चरण 5.5.2

$2 C = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$2 C = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 C}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.5.2.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{- 1}{2}$

चरण 5.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$C = - \frac{1}{2}$

चरण 6

$- \frac{1}{2}$ को $r = - \frac{1}{\ln (| θ |) + C}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- \frac{1}{2}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) - \frac{1}{2}}$

चरण 6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$\ln (| θ |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$r = - \frac{1}{\ln (| θ |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 6.2.2

$\ln (| θ |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}$

चरण 6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (| θ |) \cdot 2 - 1}{2}}$

चरण 6.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1

$\ln (| θ |) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.4.1.1

$\ln (| θ |)$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$r = - \frac{1}{\frac{2 \cdot \ln (| θ |) - 1}{2}}$

चरण 6.2.4.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \cdot \ln (| θ |)$ को सरल करें.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln ({| θ |}^{2}) - 1}{2}}$

चरण 6.2.4.2

${| θ |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$r = - \frac{1}{\frac{\ln (θ^{2}) - 1}{2}}$

चरण 6.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$r = - (1 \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1})$

चरण 6.4

$\frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$r = - \frac{2}{\ln (θ^{2}) - 1}$