कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d v}{d t} = 8 t + \csc^{2} (t)$ , $v (\frac{π}{2}) = - 7$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d v = (8 t + \csc^{2} (t)) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d v = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$v + C_{1} = \int 8 t + \csc^{2} (t) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$v + C_{1} = \int 8 t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 2.3.2

चूँकि $8$ बटे $t$ अचर है, $8$ को समाकलन से हटा दें.

$v + C_{1} = 8 \int t d t + \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \csc^{2} (t) d t$

चरण 2.3.4

चूंकि $- \cot (t)$ का व्युत्पन्न $\csc^{2} (t)$ है, $\csc^{2} (t)$ का समाकलन $- \cot (t)$ है.

$v + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

चरण 2.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$v + C_{1} = 8 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \cot (t) + C_{3}$

चरण 2.3.5.2

सरल करें.

$v + C_{1} = 4 t^{2} - \cot (t) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$

चरण 3

$t$ के लिए $\frac{π}{2}$ और $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ में $v$ के लिए $- 7$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$- 7 = 4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$4 {(\frac{π}{2})}^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{π}{2}$ पर लागू करें.

$4 \frac{π^{2}}{2^{2}} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

चरण 4.2.1.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

चरण 4.2.1.1.3

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 \frac{π^{2}}{4} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

चरण 4.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$π^{2} - \cot (\frac{π}{2}) + K = - 7$

चरण 4.2.1.1.4

$\cot (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$π^{2} - 0 + K = - 7$

चरण 4.2.1.1.5

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$π^{2} + 0 + K = - 7$

चरण 4.2.1.2

$π^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$π^{2} + K = - 7$

चरण 4.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $π^{2}$ घटाएं.

$K = - 7 - π^{2}$

चरण 5

$- 7 - π^{2}$ को $v = 4 t^{2} - \cot (t) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- 7 - π^{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$v = 4 t^{2} - \cot (t) - 7 - π^{2}$