कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x - y)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण को $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d y}{d x} = 2 (2 x) + 2 (- y)$

चरण 1.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 (- y)$ घटाएं.

$\frac{d y}{d x} - 2 (- y) = 2 (2 x)$

चरण 1.1.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 (2 x)$

चरण 1.2

अलग किये हुए गुणांकों के साथ समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 y = 2 \cdot 2 x$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - 2 \cdot - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - 2 \cdot - 1 d x}$

चरण 2.2

$- 2 \cdot - 1$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{\int 2 d x}$

चरण 2.2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{2 x + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 x}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (- 2 \cdot - 1 y) = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} - 2 \cdot - 1 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

चरण 3.2.2

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (2 \cdot 2 x)$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 \cdot 2 e^{2 x} x$

चरण 3.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$

चरण 3.5

गुणनखंडों को $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 4 e^{2 x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 4 x e^{2 x}$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{2 x} y = \int 4 x e^{2 x} d x$

चरण 7

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 4 \int x e^{2 x} d x$

चरण 7.2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{2 x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$e^{2 x} y = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3.2

$x$ और $\frac{e^{2 x}}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

चरण 7.3.3

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

चरण 7.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

चरण 7.5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 7.5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 7.5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 7.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

चरण 7.6

$e^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

चरण 7.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

चरण 7.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

चरण 7.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

चरण 7.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

चरण 7.10

$4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ को $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

चरण 7.11

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

चरण 7.12.1.3

$e^{2 x}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$e^{2 x} y = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$e^{2 x} y = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.3.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$e^{2 x} y = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2 x} y = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

चरण 7.12.4

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.12.4.1

$- \frac{e^{2 x}}{4}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

चरण 7.12.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

चरण 7.12.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{2 x} y = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C$

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$

चरण 8

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{2 x} y = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{2 x}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.1.2

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.2

$e^{2 x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

चरण 8.3.1.2.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 2 x - 1 + \frac{C}{e^{2 x}}$