कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5}{5 x}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y - 5}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

चरण 1.2

$y - 5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 5} \cdot \frac{y - 5}{5 x}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 5} d y = \frac{1}{5 x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 5} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y - 5$ . फिर $d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y - 5$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y - 5$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 5]$

चरण 2.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

चरण 2.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

चरण 2.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 5$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y - 5$ से बदलें.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

चरण 2.3.3

सरल करें.

$\ln (| y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 5 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{1}{5}$ और $\ln (| x |)$ को मिलाएं.

$\ln (| y - 5 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

चरण 3.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y - 5 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.3

$\ln (| y - 5 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\ln (| y - 5 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (| y - 5 |)$ और $\frac{5}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y - 5 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.5

$5$ को $\ln (| y - 5 |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.6

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$\frac{5 \ln (| y - 5 |) - \ln (| x |)}{5}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.1.1

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \ln (| y - 5 |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y - 5 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

चरण 3.6.1.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

चरण 3.6.1.2

$\frac{\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}{5}$ को $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}) = C$

चरण 3.6.1.3

$\frac{1}{5}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})$ को सरल करें.

$\ln ({(\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

चरण 3.6.1.4

उत्पाद नियम को $\frac{{| y - 5 |}^{5}}{| x |}$ पर लागू करें.

$\ln (\frac{{({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

चरण 3.6.1.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1

घातांक को ${({| y - 5 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.1.2

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1.5.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{{| y - 5 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

चरण 3.6.1.5.2

सरल करें.

$\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

चरण 3.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

चरण 3.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

चरण 3.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

समीकरण को $\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

चरण 3.9.2

दोनों पक्षों को ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ से गुणा करें.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

चरण 3.9.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1

${| x |}^{\frac{1}{5}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y - 5 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

चरण 3.9.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y - 5 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

चरण 3.9.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.4.1

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y - 5 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

चरण 3.9.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$

चरण 4.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 5$