कैलकुलस उदाहरण

AC विधि का उपयोग करके ${\displaystyle y^2-8y+15}$ का गुणनखंड करें.

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें ${\displaystyle A}$.

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें ${\displaystyle B}$.

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक ${\displaystyle (y-5)(y-3)}$ होगा.

${\displaystyle y-5}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle y-3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

प्रत्येक पद को सरल करें.

${\displaystyle -3A}$ ले जाएं.

समीकरण के दोनों ओर के ${\displaystyle y}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

उन पदों, जिनमें ${\displaystyle y}$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

${\displaystyle A}$ के लिए ${\displaystyle 0=A+B}$ में हल करें.

प्रत्येक समीकरण में ${\displaystyle A}$ की सभी घटनाओं को ${\displaystyle -B}$ से बदलें.

${\displaystyle B}$ के लिए ${\displaystyle 1=-2B}$ में हल करें.

प्रत्येक समीकरण में ${\displaystyle B}$ की सभी घटनाओं को ${\displaystyle -\frac{1}{2}}$ से बदलें.

सभी हलों की सूची बनाएंं.

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ को ${\displaystyle \frac{1}{y-5}}$ से गुणा करें.

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

${\displaystyle \frac{1}{y-3}}$ को ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle y-3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${\displaystyle y-5}$ को अवकलित करें.

योग नियम के अनुसार, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle y-5}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y\right]+\frac{d}{dy}[-5]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

चूंकि ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -5}$ स्थिर है, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -5}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 1}$ और ${\displaystyle 0}$ जोड़ें.

${\displaystyle y-3}$ को अवकलित करें.

योग नियम के अनुसार, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle y-3}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y\right]+\frac{d}{dy}[-3]}$ है.

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$ है, जहाँ ${\displaystyle n=1}$ है.

चूंकि ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -3}$ स्थिर है, ${\displaystyle y}$ के संबंध में ${\displaystyle -3}$ का व्युत्पन्न ${\displaystyle 0}$ है.

${\displaystyle 1}$ और ${\displaystyle 0}$ जोड़ें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${\displaystyle 2}$ को ${\displaystyle C}$ के बाईं ओर ले जाएं.

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

व्यंजक को फिर से लिखें.

${\displaystyle e^{2t+2C}|y-3|=|y-5|}$ के प्रत्येक पद को ${\displaystyle e^{2t+2C}}$ से विभाजित करें.

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

दोनों पक्षों को ${\displaystyle e^{2t+2C}}$ से गुणा करें.

सरल करें.

${\displaystyle y}$ के लिए हल करें.