कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{2}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

चरण 1.2

$\frac{2}{x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

चरण 1.2.3

सरल करें.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{2 \ln (x)}$

चरण 1.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln (x^{2})}$

चरण 1.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$x^{2}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $x^{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{2}{x}$ और $y$ को मिलाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.2.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.3

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

चरण 2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (3 x)$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (3 x)$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int \sin (3 x) d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 6.1.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 6.1.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 6.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x^{2} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

चरण 6.2

$\sin (u)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

चरण 6.3

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

चरण 6.4

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का इंटीग्रल $- \cos (u)$ है.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

सरल करें.

$x^{2} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

चरण 6.5.2

$\frac{1}{3}$ और $\cos (u)$ को मिलाएं.

$x^{2} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

चरण 6.6

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$x^{2} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

चरण 6.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

चरण 7

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x^{2} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- \frac{1}{3} \cos (3 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

$\cos (3 x)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$y = \frac{- \frac{\cos (3 x)}{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ को $\frac{\cos (3 x)}{3}$ से गुणा करें.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{x^{2} \cdot 3} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 7.3.1.4

$3$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$