कैलकुलस उदाहरण

$e^{2 x} y^{2} d x + (e^{2 x} y - 2 y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = e^{2 x} y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$

चरण 1.2

चूंकि $e^{2 x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{2 x} y^{2}$ का व्युत्पन्न $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y)$

चरण 1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot e^{2 x} y$

चरण 1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{2 x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y - 2 y]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{2 x} y - 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{2 x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.6

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.3.7

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x} + 0$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 y e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

चरण 2.5.2

$2 y e^{2 x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

चरण 2.5.3

गुणनखंडों को $2 e^{2 x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 y e^{2 x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 y e^{2 x}$ प्रतिस्थापित करें.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y - 2 y d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{2 x} y - 2 y$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y + \int - 2 y d y$

चरण 5.2

चूँकि $e^{2 x}$ बटे $y$ अचर है, $e^{2 x}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y + \int - 2 y d y$

चरण 5.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 y d y$

चरण 5.4

चूँकि $- 2$ बटे $y$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 \int y d y$

चरण 5.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

चरण 5.6

सरल करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

चरण 5.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

चरण 5.7.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}) + C$

चरण 5.7.3

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - 2 \frac{y^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.4

$- 2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- 2 y^{2}}{2} + C$

चरण 5.7.5

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.1

$- 2 y^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2} + C$

चरण 5.7.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.7.5.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 (1)} + C$

चरण 5.7.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{2 (- y^{2})}{2 \cdot 1} + C$

चरण 5.7.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + \frac{- y^{2}}{1} + C$

चरण 5.7.5.2.4

$- y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

चरण 5.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.3

चूंकि $\frac{y^{2}}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.4

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.4.2

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.5

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.6

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.7

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.8

$2$ को $e^{2 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.9

$2$ और $\frac{y^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.10

$\frac{2 y^{2}}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.11

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.3.11.2

$y^{2} e^{2 x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y^{2} e^{2 x} + 0 + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.6.1

$y^{2} e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2}$

चरण 8.6.3

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

गुणनखंडों को $e^{2 x} y^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x}$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - y^{2} e^{2 x}$

चरण 9.1.2.2

$y^{2} e^{2 x}$ में से $y^{2} e^{2 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 0$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $0$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = 0$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int 0 d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $0$ का इंटीग्रल $0$ है.

$g (x) = 0 + C$

चरण 10.4

$0$ और $C$ जोड़ें.

$g (x) = C$

चरण 11

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$

चरण 12

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - y^{2} + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\frac{1}{2}$ और $e^{2 x}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - y^{2} + C$

चरण 12.1.2

$\frac{e^{2 x}}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$

चरण 12.2

गुणनखंडों को $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - y^{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - y^{2} + C$