कैलकुलस उदाहरण

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$ , $y (0) = 0$

चरण 1

मान लीजिए $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . $x^{2} + y^{2}$ की सभी घटनाओं के लिए $v_{1}$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

चरण 2

$x^{2} + y^{2}$ को अलग करके $\frac{d v_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

चरण 3

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

चरण 4

मान लीजिए $v_{2} = e^{v_{1}}$ . $e^{v_{1}}$ की सभी घटनाओं के लिए $v_{2}$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

चरण 5

$e^{v_{1}}$ को अलग करके $\frac{d v_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = v_{1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $v_{1}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

चरण 5.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

चरण 5.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $v_{1}$ से बदलें.

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

चरण 5.2

$\frac{d}{d x} [v_{1}]$ को $v_{1}'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

चरण 6

$v_{2}$ को $e^{v_{1}}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

चरण 7

व्युत्पन्न को डिफरेन्शल इक्वेश़न में वापस प्रतिस्थापित करें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

चरण 8

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{d v}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.1

दोनों पक्षों को $2 v_{2} x$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1.1

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1.1.2.1

$2 v_{2} x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.3

$v_{2} x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.1.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.1.1.4.2

$\frac{d v}{d x}$ और $- 2 v_{2} x$ को पुन: क्रमित करें.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

चरण 8.1.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1

$v (2 v x)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

चरण 8.1.2.2.1.2

घातांक जोड़कर $v_{2}$ को $v_{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1.2.2.1.2.1

$v_{2}$ ले जाएं.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

चरण 8.1.2.2.1.2.2

$v_{2}$ को $v_{2}$ से गुणा करें.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

चरण 8.1.3

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 v_{2} x$ जोड़ें.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

चरण 8.2

$2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ में से $2 v_{2} x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$2 {v_{2}}^{2} x$ में से $2 v_{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

चरण 8.2.2

$2 v_{2} x$ में से $2 v_{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

चरण 8.2.3

$2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ में से $2 v_{2} x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

चरण 8.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

चरण 8.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

चरण 8.4.2

$2$ और $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

चरण 8.4.3

$v_{2} (v_{2} + 1)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.3.1

$v_{2} x (v_{2} + 1)$ में से $v_{2} (v_{2} + 1)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

चरण 8.4.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

चरण 8.4.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

चरण 8.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

चरण 9

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

चरण 9.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

आंशिक भिन्न अपघटन का प्रयोग करके भिन्न लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

भिन्न को विघटित करें और सामान्य भाजक से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.1

भाजक में प्रत्येक कारक के लिए, भिन्न के रूप में कारक का उपयोग करके और न्यूमेरेटर के रूप में एक अज्ञात मान का उपयोग करके एक नया न्यूमेरेटर बनाएंं. चूँकि भाजक में गुणनखंड रैखिक है, इसलिए उसके स्थान पर एक ही चर डालें $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.2

मूल व्यंजक के भाजक से समीकरण में प्रत्येक भिन्न को गुणा करें. इस स्थिति में, भाजक $v (v + 1)$ होगा.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.3

$v_{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.4

$v_{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.5.1

$v_{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.5.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5.1.2

$A (v_{2} + 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5.3

$A$ को $1$ से गुणा करें.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5.4

$v_{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

चरण 9.2.1.1.5.4.2

$B v_{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 = A v + A + B v$

चरण 9.2.1.1.6

$A$ ले जाएं.

$1 = A v + B v + A$

चरण 9.2.1.2

आंशिक भिन्न चर के लिए समीकरण बनाएंं और समीकरणों की प्रणाली स्थापित करने के लिए उनका उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.2.1

समीकरण के दोनों ओर के $v_{2}$ के पक्ष को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना होगा.

$0 = A + B$

चरण 9.2.1.2.2

उन पदों, जिनमें $v_{2}$ न हो, के गुणांकों को समान करके आंशिक भिन्न चरों के लिए एक समीकरण बनाएंँ. समीकरण को समान बनाने के लिए समीकरण के दोनों ओर के तुल्यांकी पक्ष को समान होना चाहिए.

$1 = A$

चरण 9.2.1.2.3

आंशिक भिन्नों के गुणांक ज्ञात करने के लिए समीकरणों की प्रणाली सेट करें.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

चरण 9.2.1.3

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.3.1

समीकरण को $A = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$A = 1$

$0 = A + B$

चरण 9.2.1.3.2

प्रत्येक समीकरण में $A$ की सभी घटनाओं को $1$ से बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.3.2.1

$A$ की सभी घटनाओं को $0 = A + B$ में $1$ से बदलें.

$0 = (1) + B$

$A = 1$

चरण 9.2.1.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.3.2.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

चरण 9.2.1.3.3

$B$ के लिए $0 = 1 + B$ में हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.3.3.1

समीकरण को $1 + B = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$1 + B = 0$

$A = 1$

चरण 9.2.1.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

चरण 9.2.1.3.4

समीकरणों की प्रणाली को हल करें.

$B = - 1 A = 1$

चरण 9.2.1.3.5

सभी हलों की सूची बनाएंं.

$B = - 1, A = 1$

चरण 9.2.1.4

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ में प्रत्येक आंशिक भिन्न गुणांक को $A$ और $B$ के मानों से बदलें.

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

चरण 9.2.1.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

चरण 9.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

चरण 9.2.3

$v_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{v_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| v_{2} |)$ है.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

चरण 9.2.4

चूँकि $- 1$ बटे $v_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

चरण 9.2.5

मान लीजिए $u_{3} = v_{2} + 1$ . फिर $d u_{3} = d v_{2}$ . $u_{3}$ और $d$ $u_{3}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

मान लें $u_{3} = v_{2} + 1$ . $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1.1

$v_{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

चरण 9.2.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $v_{2}$ के संबंध में $v_{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ है.

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

चरण 9.2.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ $n {v_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

चरण 9.2.5.1.4

चूंकि $v_{2}$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $v_{2}$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 9.2.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 9.2.5.2

$u_{3}$ और $d u_{3}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

चरण 9.2.6

$u_{3}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{3}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{3} |)$ है.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

चरण 9.2.7

सरल करें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

चरण 9.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

चरण 9.3.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

चरण 9.3.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

चरण 9.3.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 9.3.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

चरण 9.3.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

चरण 9.3.3.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

चरण 9.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

चरण 10

$v_{2}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

चरण 10.2

$v_{2}$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

चरण 10.3

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

चरण 10.4

$v_{2}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

समीकरण को $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

चरण 10.4.2

दोनों पक्षों को $| u_{3} |$ से गुणा करें.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

चरण 10.4.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1

$| u_{3} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

चरण 10.4.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

चरण 10.4.4

$v_{2}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.4.1

गुणनखंडों को $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ में पुन: क्रमित करें.

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

चरण 10.4.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

चरण 11

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$e^{x^{2} + C}$ को $e^{x^{2}} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

चरण 11.2

$e^{x^{2}}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

चरण 11.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

चरण 12

$v_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{v_{1}}$ से बदलें.

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

चरण 13

$v$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

चरण 13.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.2.1

$v_{1}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{v_{1}})$ का प्रसार करें.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

चरण 13.2.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

चरण 13.2.3

$v_{1}$ को $1$ से गुणा करें.

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

चरण 13.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

$\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ को $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ के रूप में फिर से लिखें.

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

चरण 13.3.2

$\ln (C | u_{3} |)$ को $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

चरण 13.3.3

$x^{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x^{2}})$ का प्रसार करें.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

चरण 13.3.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

चरण 13.3.5

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

चरण 13.4

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

चरण 14

$v_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y^{2}$ से बदलें.

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

चरण 15

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$y$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाएं.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

चरण 15.1.2

$\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.2.1

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

चरण 15.1.2.2

$\ln (C | u_{3} |)$ और $0$ जोड़ें.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

चरण 15.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

चरण 15.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.3.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

चरण 15.3.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

चरण 15.3.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

चरण 16

चूँकि $y$ प्रारंभिक स्थिति $(0, 0)$ में गैर-ऋणात्मक है, $C$ ज्ञात करने के लिए केवल $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ पर विचार करें. $x$ के लिए $0$ और $y$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

चरण 17

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.1

समीकरण को $\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)} = 0$

चरण 17.2

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}}^{2} = 0^{2}$

चरण 17.2.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.1

$\sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ को ${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 17.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.2.1

${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.2.1.1

घातांक को ${({\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 17.2.2.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${\ln (C | u_{3} |)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 17.2.2.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln^{1} (C | u_{3} |) = 0^{2}$

चरण 17.2.2.2.1.2

सरल करें.

$\ln (C | u_{3} |) = 0^{2}$

चरण 17.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\ln (C | u_{3} |) = 0$

चरण 17.2.3

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.1

$C$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (C | u_{3} |)} = e^{0}$

चरण 17.2.3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (C | u_{3} |) = 0$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{0} = C | u_{3} |$

चरण 17.2.3.3

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.3.1

समीकरण को $C | u_{3} | = e^{0}$ के रूप में फिर से लिखें.

$C | u_{3} | = e^{0}$

चरण 17.2.3.3.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$C | u_{3} | = 1$

चरण 17.2.3.3.3

$C | u_{3} | = 1$ के प्रत्येक पद को $| u_{3} |$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.3.3.1

$C | u_{3} | = 1$ के प्रत्येक पद को $| u_{3} |$ से विभाजित करें.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

चरण 17.2.3.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.3.3.2.1

$| u_{3} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 17.2.3.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C | u_{3} |}{| u_{3} |} = \frac{1}{| u_{3} |}$

चरण 17.2.3.3.3.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{1}{| u_{3} |}$

चरण 18

$\frac{1}{| u_{3} |}$ को $y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.1

$\frac{1}{| u_{3} |}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

चरण 18.2

$| u_{3} |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 18.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \sqrt{\ln (\frac{1}{| u_{3} |} | u_{3} |)}$

चरण 18.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \sqrt{\ln (1)}$

चरण 18.3

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$y = \sqrt{0}$

चरण 18.4

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \sqrt{0^{2}}$

चरण 18.5

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$y = 0$