कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{x}$

चरण 1

$\frac{y}{x}$ के फलन के रूप में डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}}$

चरण 1.2

$\sqrt{x^{2} - y^{2}}$ और $\sqrt{x^{2}}$ को एक रेडिकल में मिलाएं.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.3

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ को विभाजित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

भिन्न $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.3.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

चरण 1.4

$\frac{y^{2}}{x^{2}}$ को ${(\frac{y}{x})}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}}$

चरण 2

मान लें $V = \frac{y}{x}$ . $\frac{y}{x}$ के लिए $V$ को प्रतिस्थापित करें.

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

चरण 3

$y$ के लिए $V = \frac{y}{x}$ हल करें.

$y = V x$

चरण 4

$x$ के संबंध में $y = V x$ का व्युत्पन्न ज्ञात करने के लिए उत्पाद नियम का उपयोग करें.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

चरण 5

$x \frac{d V}{d x} + V$ को $\frac{d y}{d x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1 - V^{2}}$

चरण 6

प्रतिस्थापित डिफरेन्शल इक्वेश़न को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$\frac{d V}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{1^{2} - V^{2}}$

चरण 6.1.1.1.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

चरण 6.1.1.2

$\frac{d V}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$

चरण 6.1.1.2.2

$V + \sqrt{(1 + V) (1 - V)} - V$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.2.1

$V$ में से $V$ घटाएं.

$x \frac{d V}{d x} = 0 + \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

चरण 6.1.1.2.2.2

$0$ और $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ जोड़ें.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

चरण 6.1.1.3

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.1

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

चरण 6.1.1.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

चरण 6.1.1.3.2.1.2

$\frac{d V}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

चरण 6.1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

चरण 6.1.3

$\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

चरण 6.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 6.1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

वर्ग को पूरा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + V) (1 - V)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

चरण 6.2.2.1.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

चरण 6.2.2.1.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

चरण 6.2.2.1.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

चरण 6.2.2.1.1.2.1.2

$- V$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

चरण 6.2.2.1.1.2.1.3

$V$ को $1$ से गुणा करें.

$1 - V + V + V (- V)$

चरण 6.2.2.1.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$1 - V + V - V \cdot V$

चरण 6.2.2.1.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $V$ को $V$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.2.1.5.1

$V$ ले जाएं.

$1 - V + V - (V \cdot V)$

चरण 6.2.2.1.1.2.1.5.2

$V$ को $V$ से गुणा करें.

$1 - V + V - V^{2}$

चरण 6.2.2.1.1.2.2

$- V$ और $V$ जोड़ें.

$1 + 0 - V^{2}$

चरण 6.2.2.1.1.2.3

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1 - V^{2}$

चरण 6.2.2.1.1.3

$1$ और $- V^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- V^{2} + 1$

चरण 6.2.2.1.2

$a$ , $b$ और $c$ के मान ज्ञात करने के लिए रूप $a x^{2} + b x + c$ का प्रयोग करें.

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

चरण 6.2.2.1.3

एक परवलय के शीर्ष रूप को लें.

$a {(x + d)}^{2} + e$

चरण 6.2.2.1.4

$d = \frac{b}{2 a}$ सूत्र का उपयोग करके $d$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.4.1

$a$ और $b$ के मानों को $d = \frac{b}{2 a}$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

चरण 6.2.2.1.4.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.4.2.1

$0$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.4.2.1.1

$0$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

चरण 6.2.2.1.4.2.1.2

ऋणात्मक को $\frac{0}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$d = - 1 \cdot 0$

चरण 6.2.2.1.4.2.2

$- 1 \cdot 0$ को $- 0$ के रूप में फिर से लिखें.

$d = - 0$

चरण 6.2.2.1.4.2.3

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$d = 0$

चरण 6.2.2.1.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ सूत्र का उपयोग करके $e$ का मान पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.5.1

$c$ , $b$ और $a$ के मानों को सूत्र $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ में प्रतिस्थापित करें.

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

चरण 6.2.2.1.5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.5.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

चरण 6.2.2.1.5.2.1.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

चरण 6.2.2.1.5.2.1.3

$0$ को $- 4$ से विभाजित करें.

$e = 1 - 0$

चरण 6.2.2.1.5.2.1.4

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$e = 1 + 0$

चरण 6.2.2.1.5.2.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e = 1$

चरण 6.2.2.1.6

$a$ , $d$ और $e$ के मानों को शीर्ष रूप $- {(V + 0)}^{2} + 1$ में प्रतिस्थापित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.2

मान लीजिए $u = V + 0$ . फिर $d u = d V$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

मान लें $u = V + 0$ . $\frac{d u}{d V}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1.1

$V + 0$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

चरण 6.2.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $V$ के संबंध में $V + 0$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ है.

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

चरण 6.2.2.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ $n V^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

चरण 6.2.2.2.1.4

चूंकि $V$ के संबंध में $0$ स्थिर है, $V$ के संबंध में $0$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 6.2.2.2.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 6.2.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.3.1

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.3.2

$- u^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ बटे $u$ का समाकलन $\arcsin (u)$ है

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.5

$u$ की सभी घटनाओं को $V + 0$ से बदलें.

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.2.6

$V$ और $0$ जोड़ें.

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 6.2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 6.2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

चरण 6.3

$V$ को आर्क्साइन के अंदर से निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम चाप लें.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

चरण 7

$\frac{y}{x}$ को $V$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

चरण 8

$y$ के लिए $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

चरण 8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

चरण 8.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

चरण 8.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

गुणनखंडों को $\sin (\ln (| x |) + C) x$ में पुन: क्रमित करें.

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$