कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 10}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 10} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 10} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 10} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x^{2}$ और $d v = \sqrt{x - 10}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{2}{3}$ और ${(x - 10)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.3.2.2

$x^{2}$ और $\frac{2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{2}{3} \cdot 2$ बटे $x$ अचर है, $\frac{2}{3} \cdot 2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 2.3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

$\frac{2}{3}$ और $2$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

चरण 2.3.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u = x - 10$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u = x - 10$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$x - 10$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 10]$

चरण 2.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 10$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 2.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

चरण 2.3.5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 10$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 10) d u$

चरण 2.3.6

$u^{\frac{3}{2}} (u + 10)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 10 d u$

चरण 2.3.6.2

$u^{\frac{3}{2}}$ और $10$ को पुन: क्रमित करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 10 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.3

$u$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 10 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 10 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 10 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 10 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.7

$3$ और $2$ जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 10 u^{\frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.6.8

$u^{\frac{5}{2}}$ और $10 u^{\frac{3}{2}}$ को पुन: क्रमित करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 10 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

चरण 2.3.7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 10 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

चरण 2.3.8

चूँकि $10$ बटे $u$ अचर है, $10$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (10 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

चरण 2.3.9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{3}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

चरण 2.3.10

$\frac{2}{5}$ और $u^{\frac{5}{2}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

चरण 2.3.11

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{\frac{5}{2}}$ का समाकलन $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ है.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

चरण 2.3.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.1

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 10)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

चरण 2.3.12.2

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.1

$\frac{2}{3}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ और ${(x - 10)}^{\frac{3}{2}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (10 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.3

$10$ और $\frac{2}{5}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{10 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.4

$10$ को $2$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{20}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.5

$20$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.5.1

$20$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 4}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.5.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 4}{5 (1)} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{4}{1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.5.2.4

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.6

$- \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.7

$- \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.9

$\frac{2}{7}$ और $u^{\frac{7}{2}}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.10

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.11

$- 3$ और $\frac{4}{3}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.12

$- 3$ को $4$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.13

$- 12$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.13.1

$- 12$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.13.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.12.3.13.2.1

$3$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.13.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.13.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.12.3.13.2.4

$- 4$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - 4 (4 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.13

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 10$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - 4 (4 {(x - 10)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 {(x - 10)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

चरण 2.3.14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - 4 (4 {(x - 10)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 10)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 10)}^{\frac{3}{2}} - 4 (4 {(x - 10)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 10)}^{\frac{7}{2}})) + K$