कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x + 1} = {(x + 1)}^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$- \frac{2 y}{x + 1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x + 1}) = {(x + 1)}^{2}$

चरण 1.2

$y$ और $- \frac{2}{x + 1}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x + 1} y = {(x + 1)}^{2}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = - \frac{2}{x + 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int - \frac{2}{x + 1} d x}$

चरण 2.2

$- \frac{2}{x + 1}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- \int \frac{2}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.2

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

चरण 2.2.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$e^{- 2 \int \frac{1}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.4

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 2.2.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$e^{- 2 \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{- 2 \ln (x + 1)}$

चरण 2.4

लघुगणक घात नियम का प्रयोग करें.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 2})}$

चरण 2.5

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

${(x + 1)}^{- 2}$

चरण 2.6

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ और $\frac{d y}{d x}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} (\frac{2}{x + 1} y) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.3

$\frac{2}{x + 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.4

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{x + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

$\frac{2 y}{x + 1}$ को $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{(x + 1) {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.4.2

घातांक जोड़कर $x + 1$ को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1

$x + 1$ को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.2.1.1

$x + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.4.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.2.4.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.3

${(x + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2}$

चरण 3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{2 y}{{(x + 1)}^{3}} = 1$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] = 1$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y] d x = \int d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = \int d x$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} y = x + C$

चरण 8

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = x + C$

चरण 8.2

दोनों पक्षों को ${(x + 1)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1

${(x + 1)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = (x + C) {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

$(x + C) {(x + 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = x {(x + 1)}^{2} + C {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.3.2.1.2

$x {(x + 1)}^{2}$ और $C {(x + 1)}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4

$C {(x + 1)}^{2} + x {(x + 1)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.1

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = C ((x + 1) (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.3.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.3.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.3.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C (x^{2} + x + x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.3.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$y = C (x^{2} + 2 x + 1) + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C (x^{2}) + C (2 x) + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.5.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1 + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.5.2

$C$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x {(x + 1)}^{2}$

चरण 8.4.1.6

${(x + 1)}^{2}$ को $(x + 1) (x + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x ((x + 1) (x + 1))$

चरण 8.4.1.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 1) (x + 1)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

चरण 8.4.1.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

चरण 8.4.1.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 8.4.1.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.8.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 8.4.1.8.1.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

चरण 8.4.1.8.1.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

चरण 8.4.1.8.1.4

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + x + x + 1)$

चरण 8.4.1.8.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x (x^{2} + 2 x + 1)$

चरण 8.4.1.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

चरण 8.4.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.10.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.10.1.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.10.1.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1$

चरण 8.4.1.10.1.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1$

चरण 8.4.1.10.1.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1$

चरण 8.4.1.10.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1$

चरण 8.4.1.10.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x \cdot x + x$

चरण 8.4.1.11

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.1.11.1

$x$ ले जाएं.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 (x \cdot x) + x$

चरण 8.4.1.11.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y = C x^{2} + 2 C x + C + x^{3} + 2 x^{2} + x$

चरण 8.4.2

पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.4.2.1

$C$ ले जाएं.

$y = C x^{2} + 2 C x + x^{3} + 2 x^{2} + C + x$

चरण 8.4.2.2

$2 C x$ ले जाएं.

$y = C x^{2} + x^{3} + 2 C x + 2 x^{2} + C + x$