कैलकुलस उदाहरण

$(x^{2} + y^{2}) d y = x y d x$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y d x$ घटाएं.

$(x^{2} + y^{2}) d y - x y d x = 0$

चरण 1.2

फिर से लिखें.

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - x y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- x y]$

चरण 2.2

चूंकि $- x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- x y$ का व्युत्पन्न $- x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x \cdot 1$

चरण 2.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

चरण 3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

चरण 3.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x$ प्रतिस्थापित करें.

$- x = 2 x$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- x = 2 x$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2 x$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$- x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 x - - x}{M}$

चरण 5.3

$- x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2 x - - x}{- x y}$

चरण 5.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$2 x - - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2 - - x}{- x y}$

चरण 5.3.2.1.2

$- - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x \cdot 2 + x (- - 1)}{- x y}$

चरण 5.3.2.1.3

$x \cdot 2 + x (- - 1)$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (2 - - 1)}{- x y}$

चरण 5.3.2.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x (2 + 1)}{- x y}$

चरण 5.3.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

चरण 5.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \cdot 3}{- x y}$

चरण 5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{- 1 y}$

चरण 5.3.4

$- x y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{3}{y}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

चरण 6.2

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

चरण 6.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 6.4

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 6.5

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

चरण 6.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$- 3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 3 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

चरण 6.6.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

चरण 6.6.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

चरण 7

$- x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- x y$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$- x y \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.2

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- x) \frac{1}{y^{3}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.2.2

$y^{3}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y (- x) \frac{1}{y \cdot y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- x \frac{1}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.3

$\frac{1}{y^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

चरण 7.4

$x^{2} + y^{2}$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{y^{2}} d x + (x^{2} + y^{2}) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

चरण 7.5

$x^{2} + y^{2}$ को $\frac{1}{y^{3}}$ से गुणा करें.

$- \frac{x}{y^{2}} d x + \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d x$

चरण 9.2

चूँकि $\frac{1}{y^{2}}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{y^{2}}$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - (\frac{1}{y^{2}} \int x d x)$

चरण 9.3

कोष्ठक हटा दें.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \int x d x$

चरण 9.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 9.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.1

$- \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 9.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.5.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = - \frac{1}{2 y^{2}} x^{2} + C$

चरण 9.5.2.2

$x^{2}$ और $\frac{1}{2 y^{2}}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3

$\frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.1

चूंकि $- \frac{x^{2}}{2}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ है.

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.2

$\frac{1}{y^{2}}$ को ${(y^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = y^{- 1}$ और $g (y) = y^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y^{2}$ के रूप में सेट करें.

$- \frac{x^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- \frac{x^{2}}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y^{2}$ से बदलें.

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- \frac{x^{2}}{2} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.5

घातांक को ${(y^{2})}^{- 2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.5.2

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2}}{2} (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.6

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.7

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.9

$1$ में से $4$ घटाएं.

$- \frac{x^{2}}{2} (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.10

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.11

$2$ और $\frac{x^{2}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2}}{2} y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.12

$\frac{2 x^{2}}{2}$ और $y^{- 3}$ को मिलाएं.

$\frac{2 x^{2} y^{- 3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $y^{- 3}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.14

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.3.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x^{2}}{2 y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.3.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$\frac{x^{2}}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 12.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$

चरण 13

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1

चर वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2}}{y^{3}} - \frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - (x^{2} + y^{2})}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x^{2} - x^{2} - y^{2}}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.4

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y^{2}}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.5

$0$ में से $y^{2}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y^{2}}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.6.1

$y^{2}$ और $y^{3}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.6.1.1

$- y^{2}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{3}} = 0$

चरण 13.1.1.6.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1.1.6.1.2.1

$y^{3}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

चरण 13.1.1.6.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} \cdot - 1}{y^{2} y} = 0$

चरण 13.1.1.6.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

चरण 13.1.1.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

चरण 13.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

चरण 14

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{1}{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 14.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

चरण 14.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

चरण 14.3

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$g (y) = \ln (| y |) + C$

चरण 15

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \ln (| y |) + C$