कैलकुलस उदाहरण

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.2

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x - y + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - y + 6]$

चरण 2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - y + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [6]$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

चरण 2.6

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

चरण 2.6.2

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $0$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $1$ प्रतिस्थापित करें.

$0 = 1$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$0 = 1$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$1$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$0$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 + 0}{M}$

चरण 4.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{1 + 0}{1}$

चरण 4.3.2

$1 + 0$ को $1$ से विभाजित करें.

$1 + 0$

चरण 4.3.3

$1$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$1$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{y + C}$

चरण 5.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{y} + C$

चरण 6

$1$ को $e^{y}$ से गुणा करें.

$d x + (x - y + 6) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = e^{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $e^{y} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{y} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 11.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$

चरण 12.1.2

$x e^{y} - y e^{y} + 6 e^{y} - x e^{y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

$x e^{y}$ में से $x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y} + 0$

चरण 12.1.2.2

$- y e^{y} + 6 e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y e^{y} + 6 e^{y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y e^{y} + 6 e^{y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y e^{y} + 6 e^{y} d y$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int - y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

चरण 13.4

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y e^{y} d y + \int 6 e^{y} d y$

चरण 13.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = - (y e^{y} - \int e^{y} d y) + \int 6 e^{y} d y$

चरण 13.6

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + \int 6 e^{y} d y$

चरण 13.7

चूँकि $6$ बटे $y$ अचर है, $6$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 \int e^{y} d y$

चरण 13.8

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$g (y) = - (y e^{y} - (e^{y} + C)) + 6 (e^{y} + C)$

चरण 13.9

सरल करें.

$g (y) = - y e^{y} + e^{y} + 6 e^{y} + C$

चरण 13.10

$e^{y}$ और $6 e^{y}$ जोड़ें.

$g (y) = - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

चरण 14

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$

चरण 15

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{y} x - y e^{y} + 7 e^{y} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = x e^{y} - y e^{y} + 7 e^{y} + C$