कैलकुलस उदाहरण

$(1 + x^{3}) d y = 3 x^{2} (y d) x$

चरण 1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(1 + x^{3}) y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

चरण 2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$1 + x^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$(1 + x^{3}) y$ में से $1 + x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) (y)} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

चरण 2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(1 + x^{3}) y} (1 + x^{3}) d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

चरण 2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (3 x^{2} y) d x$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.3

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1^{3} + x^{3}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.3.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.3.3.2

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = 3 \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.4

$3$ और $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2}) y} (x^{2} y) d x$

चरण 2.5

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$(1 + x) (1 - x + x^{2}) y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (x^{2} y) d x$

चरण 2.5.2

$x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

चरण 2.5.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{y ((1 + x) (1 - x + x^{2}))} (y x^{2}) d x$

चरण 2.5.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} x^{2} d x$

चरण 2.6

$\frac{3}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} d y = \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

चरण 3.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} d x$

चरण 3.3.2

मान लीजिए $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ .फिर $d u = 3 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

मान लें $u = (1 + x) (1 - x + x^{2})$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$(1 + x) (1 - x + x^{2})$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x + x^{2})]$

चरण 3.3.2.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x$ और $g (x) = 1 - x + x^{2}$ है.

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x + x^{2}] + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - x + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 + x) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + x) (- 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x]$

चरण 3.3.2.1.3.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.2.1.3.9

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.2.1.3.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [x]$ जोड़ें.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3.2.1.3.11

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + (1 - x + x^{2}) \cdot 1$

चरण 3.3.2.1.3.12

$1 - x + x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 + x) (- 1 + 2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + (1 + x) (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 \cdot - 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.2

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 1 - 1 \cdot x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.3

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 1 - x + 1 (2 x) + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1 - x + 2 x + x (2 x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 1 - x + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 1 - x + 2 x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.9

$- x$ और $2 x$ जोड़ें.

$- 1 + x + 2 x^{2} + 1 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.10

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$x + 2 x^{2} + 0 - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.11

$x + 2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$x + 2 x^{2} - x + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.12

$x$ में से $x$ घटाएं.

$2 x^{2} + 0 + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.13

$2 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$2 x^{2} + x^{2}$

चरण 3.3.2.1.4.4.14

$2 x^{2}$ और $x^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2}$

चरण 3.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

चरण 3.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

चरण 3.3.3.2

$3$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 \int \frac{1}{3 u} d u$

चरण 3.3.4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 3.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$\frac{1}{3}$ और $3$ को मिलाएं.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.5.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3}{3} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

चरण 3.3.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 3.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ से बदलें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - \ln (| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |) = C$

चरण 4.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$

चरण 4.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |})} = e^{C}$

चरण 4.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |}$

चरण 4.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

समीकरण को $\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} = e^{C}$

चरण 4.5.2

दोनों पक्षों को $| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ से गुणा करें.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

चरण 4.5.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1.1

$| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y |}{| (1 + x) (1 - x + x^{2}) |} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

चरण 4.5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$

चरण 4.5.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1

$e^{C} | (1 + x) (1 - x + x^{2}) |$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(1 + x) (1 - x + x^{2})$ का प्रसार करें.

$| y | = e^{C} | 1 \cdot 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | 1 + 1 (- x) + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.2

$- x$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + 1 x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x \cdot 1 + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x + x (- x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x \cdot x + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.1.6.1

$x$ ले जाएं.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - (x \cdot x) + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x \cdot x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.7

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.1.7.1

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.1.7.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1} x^{2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.7.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{1 + 2} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.1.7.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | 1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.2

$1 - x + x^{2} + x - x^{2} + x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.2.1.2.2.1

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} + 0 - x^{2} + x^{3} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.2.2

$1 + x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{2} - x^{2} + x^{3} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.2.3

$x^{2}$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$| y | = e^{C} | 1 + 0 + x^{3} |$

चरण 4.5.3.2.1.2.2.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$| y | = e^{C} | 1 + x^{3} |$

चरण 4.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | 1 + x^{3} |$ में पुन: क्रमित करें.

$| y | = | 1 + x^{3} | e^{C}$

चरण 4.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm | 1 + x^{3} | e^{C}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm | 1 + x^{3} | C$

चरण 5.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C | 1 + x^{3} |$