कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{d y}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1.1.1

अलग-अलग भिन्न

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

चरण 2.1.1.1.1.2

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ को $\cot (x)$ में बदलें.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

चरण 2.1.1.1.1.3

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

चरण 2.1.1.1.1.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

चरण 2.1.1.1.2

गुणनखंडों को $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

चरण 2.1.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 y \cot (x)$ जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

चरण 2.2

$y + 2 y \cot (x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

चरण 2.2.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

चरण 2.2.3

$2 y \cot (x)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

चरण 2.2.4

$y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

चरण 2.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

चरण 2.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

चरण 2.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

चरण 2.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

चरण 3.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

चरण 3.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

चरण 3.3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

चरण 3.3.3

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

चरण 3.3.4

$x$ के संबंध में $\cot (x)$ का इंटीग्रल $\ln (| \sin (x) |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

चरण 3.3.5

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ को सरल करें.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

चरण 4.2.1.1.2

${| \sin (x) |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

चरण 4.2.1.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

चरण 4.2.1.3

$1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

चरण 4.2.1.4

अलग-अलग भिन्न

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

चरण 4.2.1.5

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ को $\csc^{2} (x)$ में बदलें.

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

चरण 4.2.1.6

$| y |$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

चरण 4.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

चरण 4.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

चरण 4.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

समीकरण को $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

चरण 4.5.2

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ के प्रत्येक पद को $\csc^{2} (x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ के प्रत्येक पद को $\csc^{2} (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 4.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1

$\csc^{2} (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 4.5.2.2.1.2

$| y |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 4.5.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$e^{x + C}$ को $e^{x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 5.2

$e^{x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

चरण 5.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$