कैलकुलस उदाहरण

$(3 e^{3 x} y - 2 x) d x + e^{3 x} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 3 e^{3 x} y - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y - 2 x]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $3 e^{3 x} y - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3 e^{3 x}$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $3 e^{3 x} y$ का व्युत्पन्न $3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

चरण 1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2 x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + 0$

चरण 1.4.2

$3 e^{3 x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = e^{3 x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \cdot 1)$

चरण 2.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \cdot 3$

चरण 2.3.3.2

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 x}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $3 e^{3 x}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3 e^{3 x}$ प्रतिस्थापित करें.

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = e^{3 x}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{3 x} y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $e^{3 x} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.2.2

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.4

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.6

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.3.7

$3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

गुणनखंडों को $3 e^{3 x} y - 2 x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} - 2 x$

चरण 9.1.2

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y e^{3 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$

चरण 9.1.2.2

$3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.2.1

$3 y e^{3 x}$ में से $3 y e^{3 x}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

चरण 9.1.2.2.2

$- 2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $- 2 x$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int - 2 x d x$

चरण 10.3

चूँकि $- 2$ बटे $x$ अचर है, $- 2$ को समाकलन से हटा दें.

$g (x) = - 2 \int x d x$

चरण 10.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 10.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

चरण 10.5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.1

$- 2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.2.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

चरण 10.5.2.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$g (x) = - x^{2} + C$

चरण 11

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$

चरण 12

गुणनखंडों को $f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$ में पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = y e^{3 x} - x^{2} + C$