कैलकुलस उदाहरण

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$ के प्रत्येक पद को $x + 1$ से विभाजित करें.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 1.2

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 1.2.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 1.3

$\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 1.4

$y$ और $\frac{x + 2}{x + 1}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 2

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

चरण 2.2

$\frac{x + 2}{x + 1}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x + 2$ को $x + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$1$

$x$

$2$

चरण 2.2.1.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

चरण 2.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

चरण 2.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x + 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

चरण 2.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

चरण 2.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

चरण 2.2.4

मान लीजिए $u = x + 1$ . फिर $d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

मान लें $u = x + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1.1

$x + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

चरण 2.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.2.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.2.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 2.2.5

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

चरण 2.2.6

सरल करें.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

चरण 2.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

चरण 2.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

चरण 3

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x + \ln (x + 1)}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को $e^{x + \ln (x + 1)}$ से गुणा करें.

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{x + 2}{x + 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.2.2

$e^{x + \ln (x + 1)}$ और $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ को मिलाएं.

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.3

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + 1}{x + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ में से $e^{x + \ln (x + 1)}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ में से $e^{x + \ln (x + 1)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5.1.2

$e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ में से $e^{x + \ln (x + 1)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5.1.3

$e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ में से $e^{x + \ln (x + 1)}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5.3

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

चरण 3.6

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ और $\frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 e^{- x})}{x + 1}$

चरण 3.6.2

घातांक जोड़कर $e^{x + \ln (x + 1)}$ को $e^{- x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$e^{- x}$ ले जाएं.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.6.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.6.2.3

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.6.2.4

$0$ और $\ln (x + 1)$ जोड़ें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.7

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.8

$x + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

चरण 3.8.2

$2$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

चरण 3.9

गुणनखंडों को $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

चरण 4

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2$

चरण 5

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 d x$

चरण 6

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 d x$

चरण 7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$

चरण 8

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x + \ln (x + 1)}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x + \ln (x + 1)}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

चरण 8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

$e^{x + \ln (x + 1)}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

चरण 8.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$