कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

चरण 1

समाकलित गुणनखंड को $e^{\int P (x) d x}$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां $P (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समाकलन सेट करें.

$e^{\int 2 x d x}$

चरण 1.2

$2 x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$e^{2 \int x d x}$

चरण 1.2.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

चरण 1.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$e^{1 x^{2} + C}$

चरण 1.2.3.2.3

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{x^{2} + C}$

चरण 1.3

समाकलन का स्थिरांक निकालें.

$e^{x^{2}}$

चरण 2

प्रत्येक पद को समाकलन गुणनखंड $e^{x^{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से गुणा करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

चरण 2.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

चरण 2.3

गुणनखंडों को $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

चरण 3

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

चरण 4

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

चरण 5

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

चरण 6

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 6.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 6.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 6.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 6.1.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 6.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 6.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

चरण 6.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x^{2}}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

चरण 7

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ के प्रत्येक पद को $e^{x^{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 7.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 7.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1

$e^{x^{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 7.3.1.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

चरण 8

$x$ के लिए $0$ और $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

चरण 9

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

समीकरण को $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

चरण 9.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

चरण 9.2.1.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

चरण 9.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} + C = 1$

चरण 9.3

$C$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाएं.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

चरण 9.3.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

चरण 9.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

चरण 9.3.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$C = \frac{1}{2}$

चरण 10

$\frac{1}{2}$ को $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{1}{2}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

चरण 10.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

चरण 10.2.2

जोड़ना.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

चरण 10.2.3

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$