कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d x}{d y} = \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y^{2} d y$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = \int y^{2} d y$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$\int \sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}} d x = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.2

मान लीजिए $x = \sin (t)$ , जहां $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . फिर $d x = \cos (t) d t$ . ध्यान दें कि $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ से, $\cos (t)$ सकारात्मक है.

$\int \sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$\sqrt{{(1 - \sin^{2} (t))}^{1}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.1

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\int \sqrt{{(\cos^{2} (t))}^{1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.1.2

घातांक को ${(\cos^{2} (t))}^{1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{{\cos (t)}^{2 \cdot 1}} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.1.2.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.1.3

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$\int \cos (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.2.1

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.2.2

$\cos (t)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.2.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.3.2.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\int \cos^{2} (t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.4

$\cos^{2} (t)$ को $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $t$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.6

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.7

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (2 t) d t) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.8

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.8.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 2.2.8.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.2.8.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.2.8.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.2.8.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.9

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.10

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.11

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$\frac{1}{2} (t + C_{1} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})) = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.12

सरल करें.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.13

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.13.1

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.13.2

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.13.3

$t$ की सभी घटनाओं को $\arcsin (x)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.14.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 \arcsin (x))$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.14.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.14.3

$\frac{1}{2}$ और $\arcsin (x)$ को मिलाएं.

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.14.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.14.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.14.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.2.15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \int y^{2} d y$

चरण 2.3

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) = \frac{1}{3} y^{3} + K$