कैलकुलस उदाहरण

$(2 x e^{y} + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) e^{y} d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = 2 x e^{y} + e^{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y} + e^{x}]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x e^{y} + e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x e^{y}$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ $a^{y} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

चरण 1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $e^{x}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $e^{x}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + 0$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2 x e^{y}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

चरण 1.5.2

$2 x e^{y}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x$

चरण 1.5.3

गुणनखंडों को $2 e^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$

चरण 2.2

चूंकि $e^{y}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $(x^{2} + 1) e^{y}$ का व्युत्पन्न $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + 0)$

चरण 2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x)$

चरण 2.6.2

$2$ को $e^{y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot e^{y} x$

चरण 2.6.3

गुणनखंडों को $2 e^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y}$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $2 x e^{y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x e^{y}$ प्रतिस्थापित करें.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$

चरण 3.2

चूँकि दोनों पक्षों को समतुल्य दिखाया गया है, समीकरण एक सर्वसमिका है.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$ एक सर्वसमिका है.

चरण 4

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int (x^{2} + 1) e^{y} d y$

चरण 5

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $x^{2} + 1$ बटे $y$ अचर है, $x^{2} + 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) \int e^{y} d y$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $e^{y}$ का इंटीग्रल $e^{y}$ है.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) (e^{y} + C)$

चरण 5.3

सरल करें.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + C$

चरण 6

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$

चरण 7

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.3.1

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3.3

$e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{y} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.3.6

$2$ को $e^{y}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.5.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 8.5.2

गुणनखंडों को $\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = 2 x e^{y} + e^{x}$

चरण 9

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$

चरण 9.1.2

$2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.2.1

$2 x e^{y}$ में से $2 x e^{y}$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

चरण 9.1.2.2

$0$ और $e^{x}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

चरण 10

$g (x)$ को खोजने के लिए $e^{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

चरण 10.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int e^{x} d x$

चरण 10.3

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$g (x) = e^{x} + C$

चरण 11

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + e^{x} + C$

चरण 12

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + 1 e^{y} + e^{x} + C$

चरण 12.2

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + e^{y} + e^{x} + C$