कैलकुलस उदाहरण

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x (y - 1) d x$ घटाएं.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$y (x - 1)$ में से $x - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

चरण 3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

चरण 3.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

चरण 3.2

$\frac{1}{y - 1}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

चरण 3.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

चरण 3.4

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

चरण 3.4.2

$(x - 1) (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

चरण 3.4.3

$x (y - 1)$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

चरण 3.4.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

चरण 3.4.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 1}{x - 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$y$ को $y - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$y$

$1$

$y$

$0$

चरण 4.2.1.2

भाज्य $y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

चरण 4.2.1.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

चरण 4.2.1.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

चरण 4.2.1.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

चरण 4.2.1.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.2

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.4

मान लीजिए $u_{1} = y - 1$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1

मान लें $u_{1} = y - 1$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.4.1.1

$y - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

चरण 4.2.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

चरण 4.2.4.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.4.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.5

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.6

सरल करें.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.2.7

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y - 1$ से बदलें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

चरण 4.3.2

$x$ को $x - 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

$x$

$1$

$x$

$0$

चरण 4.3.2.2

भाज्य $x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

चरण 4.3.2.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

चरण 4.3.2.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x - 1$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

चरण 4.3.2.5

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

चरण 4.3.2.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

चरण 4.3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

चरण 4.3.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

चरण 4.3.5

मान लीजिए $u_{2} = x - 1$ . फिर $d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

मान लें $u_{2} = x - 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1.1

$x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

चरण 4.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.3.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 4.3.5.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.3.5.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.3.5.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 4.3.6

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

चरण 4.3.8

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

चरण 4.3.9

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$