कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}}) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.3.2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.3.3

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{9 x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.3.4

चूँकि $9$ बटे $x$ अचर है, $9$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{x^{2}}{{(3 x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

चरण 2.3.5

मान लीजिए $u = 3 x^{3} + 1$ .फिर $d u = 9 x^{2} d x$ , तो $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

मान लें $u = 3 x^{3} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.1

$3 x^{3} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 1]$

चरण 2.3.5.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.5.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{3}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.5.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.5.1.3.3

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 2.3.5.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$9 x^{2} + 0$

चरण 2.3.5.1.4.2

$9 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$9 x^{2}$

चरण 2.3.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{9} d u$

चरण 2.3.6.2

$\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ को $\frac{1}{9}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 9} d u$

चरण 2.3.6.3

$9$ को $u^{\frac{3}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 2.3.7

चूँकि $\frac{1}{9}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

चरण 2.3.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1.1

$\frac{1}{9}$ और $9$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 2.3.8.1.2

$9$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 2.3.8.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 1 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 2.3.8.1.3

$\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

चरण 2.3.8.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.1

$u^{\frac{3}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

चरण 2.3.8.2.2

घातांक को ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

चरण 2.3.8.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

चरण 2.3.8.2.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

चरण 2.3.8.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

चरण 2.3.9

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u^{- \frac{3}{2}}$ का समाकलन $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ है.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{3}$

चरण 2.3.10

सरल करें.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 u^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

चरण 2.3.11

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{3} + 1$ से बदलें.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = 2 x^{2} - 2 {(3 x^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} + K$