कैलकुलस उदाहरण

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y d y$ घटाएं.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

चरण 2.2

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x e^{x^{2} + y}$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ $f' (g (y)) g' (y)$ है, जहाँ $f (y) = e^{y}$ और $g (y) = x^{2} + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

चरण 2.3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + y$ से बदलें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x^{2} + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

चरण 2.4.2

चूंकि $y$ के संबंध में $x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

चरण 2.4.3

$0$ और $\frac{d}{d y} [y]$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

चरण 2.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

चरण 2.4.5

$e^{x^{2} + y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x e^{x^{2} + y}$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$x e^{x^{2} + y} = 0$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$x e^{x^{2} + y}$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

चरण 5.3

$x e^{x^{2} + y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x e^{x^{2} + y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

चरण 5.3.2

$0$ में से $x e^{x^{2} + y}$ घटाएं.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

चरण 5.3.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

चरण 5.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

चरण 5.3.4

$x e^{x^{2} + y}$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

चरण 5.3.4.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$- 1$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - 1 d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

चरण 6.2

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

चरण 7

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $e^{- y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$x e^{x^{2} + y}$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

चरण 7.2

घातांक जोड़कर $e^{x^{2} + y}$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- y}$ ले जाएं.

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

चरण 7.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

चरण 7.2.3

$- y + x^{2} + y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$- y$ और $y$ जोड़ें.

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

चरण 7.2.3.2

$x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

चरण 7.3

$- y$ को $e^{- y}$ से गुणा करें.

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

मान लीजिए $u_{2} = e^{x^{2}}$ .फिर $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1

मान लें $u_{2} = e^{x^{2}}$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.1

$e^{x^{2}}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

चरण 9.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 9.1.1.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 9.1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 9.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{x^{2}} (2 x)$

चरण 9.1.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1.1.4.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$2 e^{x^{2}} x$

चरण 9.1.1.4.2

गुणनखंडों को $2 e^{x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$2 x e^{x^{2}}$

चरण 9.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 9.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

चरण 9.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $e^{x^{2}}$ से बदलें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

चरण 12.3

चूंकि $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

चरण 12.5

$0$ और $\frac{d g}{d y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $- y e^{- y}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

चरण 13.3

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

चरण 13.4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = y$ और $d v = e^{- y}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

चरण 13.5

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

चरण 13.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.6.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

चरण 13.6.2

$\int e^{- y} d y$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

चरण 13.7

मान लीजिए $u = - y$ .फिर $d u = - d y$ , तो $- d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1

मान लें $u = - y$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.7.1.1

$- y$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [- y]$

चरण 13.7.1.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [y]$ है.

$- \frac{d}{d y} [y]$

चरण 13.7.1.3

$- 1 \cdot 1$

चरण 13.7.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 1$

चरण 13.7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

चरण 13.8

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

चरण 13.9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

चरण 13.10

$- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ को $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

चरण 13.11

$u$ की सभी घटनाओं को $- y$ से बदलें.

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

चरण 13.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

चरण 13.12.2

$- (- y e^{- y})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

चरण 13.12.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

चरण 13.12.3

$- - e^{- y}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

चरण 13.12.3.2

$e^{- y}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

चरण 14

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

चरण 15

$\frac{1}{2}$ और $e^{x^{2}}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$