कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} = t + 2 e^{t - 7}$ ; and , $y (7) = 4$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (t + 2 e^{t - 7}) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int t + 2 e^{t - 7} d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int t d t + \int 2 e^{t - 7} d t$

चरण 2.3.2

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + \int 2 e^{t - 7} d t$

चरण 2.3.3

चूँकि $2$ बटे $t$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{t - 7} d t$

चरण 2.3.4

मान लीजिए $u = t - 7$ . फिर $d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

मान लें $u = t - 7$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$t - 7$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [t - 7]$

चरण 2.3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ है.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]$

चरण 2.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d t} [- 7]$

चरण 2.3.4.1.4

चूंकि $t$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 2.3.4.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 2.3.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 \int e^{u} d u$

चरण 2.3.5

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + C_{2} + 2 (e^{u} + C_{3})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{u} + C_{4}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $t - 7$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$

चरण 3

$t$ के लिए $7$ और $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ में $y$ के लिए $4$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$4 = \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K = 4$

चरण 4.2

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{7 - 7} + K$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$7$ में से $7$ घटाएं.

$\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 2 e^{0} + K = 4$

चरण 4.2.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$7$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 2 e^{0} + K = 4$

चरण 4.2.2.2

$\frac{1}{2}$ और $49$ को मिलाएं.

$\frac{49}{2} + 2 e^{0} + K = 4$

चरण 4.2.2.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{49}{2} + 2 \cdot 1 + K = 4$

चरण 4.2.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{49}{2} + 2 + K = 4$

चरण 4.2.3

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{49}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + K = 4$

चरण 4.2.4

$2$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{49}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + K = 4$

चरण 4.2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{49 + 2 \cdot 2}{2} + K = 4$

चरण 4.2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.6.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{49 + 4}{2} + K = 4$

चरण 4.2.6.2

$49$ और $4$ जोड़ें.

$\frac{53}{2} + K = 4$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $\frac{53}{2}$ घटाएं.

$K = 4 - \frac{53}{2}$

चरण 4.3.2

$4$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$K = 4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{53}{2}$

चरण 4.3.3

$4$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$K = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{53}{2}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{4 \cdot 2 - 53}{2}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$K = \frac{8 - 53}{2}$

चरण 4.3.5.2

$8$ में से $53$ घटाएं.

$K = \frac{- 45}{2}$

चरण 4.3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$K = - \frac{45}{2}$

चरण 5

$- \frac{45}{2}$ को $y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{45}{2}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{1}{2} t^{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

चरण 5.2

$\frac{1}{2}$ और $t^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} - \frac{45}{2}$

चरण 5.3

$2 e^{t - 7}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{t^{2}}{2} + 2 e^{t - 7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{45}{2}$

चरण 5.4

$2 e^{t - 7}$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{t^{2}}{2} + \frac{2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

चरण 5.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{t^{2} + 2 e^{t - 7} \cdot 2}{2} - \frac{45}{2}$

चरण 5.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{t^{2} + 4 e^{t - 7}}{2} - \frac{45}{2}$