कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = - 2 y$ , $y (2) = 3$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 2 y)$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{y} y$

चरण 1.2.2

$- 2$ और $\frac{1}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

चरण 1.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{y} y$

चरण 1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 2$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = - 2 d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 2 d x$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 2 d x$

चरण 2.3

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 x + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - 2 x + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 2 x + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - 2 x + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 2 x + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- 2 x + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- 2 x + C}$

चरण 3.3.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- 2 x + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- 2 x + C}$ को $e^{- 2 x} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- 2 x} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- 2 x}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- 2 x}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- 2 x}$

चरण 5

$x$ के लिए $2$ और $y = C e^{- 2 x}$ में $y$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = C e^{- 2 \cdot 2}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{- 2 \cdot 2} = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{- 2 \cdot 2} = 3$

चरण 6.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$C e^{- 4} = 3$

चरण 6.3

$C e^{- 4} = 3$ के प्रत्येक पद को $e^{- 4}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$C e^{- 4} = 3$ के प्रत्येक पद को $e^{- 4}$ से विभाजित करें.

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$e^{- 4}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C e^{- 4}}{e^{- 4}} = \frac{3}{e^{- 4}}$

चरण 6.3.2.1.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{3}{e^{- 4}}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ का उपयोग करके $e^{- 4}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$C = 3 e^{4}$

चरण 7

$3 e^{4}$ को $y = C e^{- 2 x}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$3 e^{4}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 3 e^{4} e^{- 2 x}$

चरण 7.2

घातांक जोड़कर $e^{4}$ को $e^{- 2 x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$e^{- 2 x}$ ले जाएं.

$y = 3 (e^{- 2 x} e^{4})$

चरण 7.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = 3 e^{- 2 x + 4}$