कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u_{2} = \csc (7 θ)$ .फिर $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , तो $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u_{2} = \csc (7 θ)$ . $\frac{d u_{2}}{d θ}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$\csc (7 θ)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

चरण 2.3.1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \csc (θ)$ और $g (θ) = 7 θ$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $7 θ$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

चरण 2.3.1.1.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\csc (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ है.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

चरण 2.3.1.1.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $7 θ$ से बदलें.

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

चरण 2.3.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $7$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $7 θ$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

चरण 2.3.1.1.3.2

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

चरण 2.3.1.1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

चरण 2.3.1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.4.1

$- 7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

चरण 2.3.1.1.3.4.2

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

चरण 2.3.2.2

$u_{2}$ और $\frac{1}{7}$ को मिलाएं.

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $u_{2}$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{7}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{7}$ को समाकलन से हटा दें.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

चरण 2.3.5

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में $u_{2}$ का समाकलन $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ है.

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ को $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{7}$ से गुणा करें.

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.6.2.2

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\csc (7 θ)$ से बदलें.

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

चरण 3

$θ$ के लिए $\frac{π}{4}$ और $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ में $r$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

चरण 4

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

समीकरण को $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

चरण 4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$7$ और $\frac{π}{4}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

चरण 4.2.1.2

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि चौथे चतुर्थांश में व्युत्क्रमज्या ऋणात्मक है.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.3

$\csc (\frac{π}{4})$ का सटीक मान $\sqrt{2}$ है.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.4

उत्पाद नियम को $- \sqrt{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

चरण 4.2.1.5

घातांक जोड़कर $- 1$ को ${(- 1)}^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.5.1

${(- 1)}^{2}$ ले जाएं.

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.5.2

${(- 1)}^{2}$ को $- 1$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.5.2.1

$- 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.6

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.7

${\sqrt{2}}^{2}$ को $2$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.7.1

$\sqrt{2}$ को $2^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

चरण 4.2.1.7.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

चरण 4.2.1.7.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

चरण 4.2.1.7.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

चरण 4.2.1.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

चरण 4.2.1.7.5

घातांक का मान ज्ञात करें.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

चरण 4.2.1.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.8.1

$- \frac{1}{14}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

चरण 4.2.1.8.2

$14$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

चरण 4.2.1.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

चरण 4.2.1.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

चरण 4.2.1.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

चरण 4.3

$K$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{1}{7}$ जोड़ें.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

चरण 4.3.2

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7}{7}$ से गुणा करें.

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

चरण 4.3.3

$3$ और $\frac{7}{7}$ को मिलाएं.

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

चरण 4.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

चरण 4.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$3$ को $7$ से गुणा करें.

$K = \frac{21 + 1}{7}$

चरण 4.3.5.2

$21$ और $1$ जोड़ें.

$K = \frac{22}{7}$

चरण 5

$\frac{22}{7}$ को $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{22}{7}$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

चरण 5.2

$\csc^{2} (7 θ)$ और $\frac{1}{14}$ को मिलाएं.

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$