कैलकुलस उदाहरण

$3 x (y - 2) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 x (y - 2) d x$ घटाएं.

$(x^{2} + 1) d y = - 3 x (y - 2) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 2} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

चरण 3.3

$- 3$ और $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

चरण 3.4

$y - 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$(x^{2} + 1) (y - 2)$ में से $y - 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} (x (y - 2)) d x$

चरण 3.4.2

$x (y - 2)$ में से $y - 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

चरण 3.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

चरण 3.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 1} x d x$

चरण 3.5

$\frac{- 3}{x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = y - 2$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = y - 2$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$y - 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 4.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

चरण 4.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y - 2$ से बदलें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.2

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

चरण 4.3.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 4.3.4

मान लीजिए $u_{2} = x^{2} + 1$ .फिर $d u_{2} = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

मान लें $u_{2} = x^{2} + 1$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 4.3.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 4.3.4.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 4.3.4.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4.3.4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 4.3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.5.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

चरण 4.3.5.2

$2$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 4.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 3$ को मिलाएं.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.8

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.9

सरल करें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.10

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1.1

$\ln (| x^{2} + 1 |)$ और $\frac{3}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

चरण 5.1.1.2

$3$ को $\ln (| x^{2} + 1 |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

चरण 5.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y - 2 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.3

$\ln (| y - 2 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (| y - 2 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| y - 2 |)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.5

$2$ को $\ln (| y - 2 |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y - 2 |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y - 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6.1.1.2

${| y - 2 |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

चरण 5.6.1.1.3

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

चरण 5.6.1.1.4

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

चरण 5.6.1.2

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ को $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

चरण 5.6.1.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ को सरल करें.

$\ln ({({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.4

उत्पाद नियम को ${(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ पर लागू करें.

$\ln ({({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5

घातांक को ${({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln ({(y - 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.6

सरल करें.

$\ln ((y - 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.7

घातांक को ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.7.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

चरण 5.6.1.7.2

$3$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

चरण 5.6.1.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

चरण 5.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

चरण 5.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

समीकरण को $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

चरण 5.9.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ जोड़ें.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

चरण 5.9.3

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.1

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ के प्रत्येक पद को ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 5.9.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 5.9.3.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 5.9.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 6

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{C + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$