कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} + y^{2} \cos (2 t) = 0$ , $y (0) = 1$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{2} \cos (2 t)$ घटाएं.

$\frac{d y}{d t} = - y^{2} \cos (2 t)$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (- y^{2} \cos (2 t))$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

चरण 1.3.2

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$- \frac{1}{y^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

चरण 1.3.2.2

$y^{2} \cos (2 t)$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} (\cos (2 t)))$

चरण 1.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} (y^{2} \cos (2 t))$

चरण 1.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \cos (2 t)$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \cos (2 t) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

$y^{2}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.2.1.2

घातांक को ${(y^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.2.1.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int y^{- 2} d y = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{- 2}$ का समाकलन $- y^{- 1}$ है.

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.2.3

$- y^{- 1} + C_{1}$ को $- \frac{1}{y} + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \cos (2 t) d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \cos (2 t) d t$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 2 t$ .फिर $d u = 2 d t$ , तो $\frac{1}{2} d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 2 t$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$2 t$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

चरण 2.3.2.1.2

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

चरण 2.3.2.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 2.3.2.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.3

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 2.3.5

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{2})$

चरण 2.3.6

सरल करें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sin (u) + C_{2}$

चरण 2.3.7

$u$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} \sin (2 t) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} \sin (2 t) + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sin (2 t)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$

चरण 3.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$y, 2, 1$

चरण 3.2.2

चूँकि $y, 2, 1$ में संख्याएँ और चर दोनों शामिल हैं, LCM को खोजने के लिए दो चरण हैं. संख्यात्मक भाग $1, 2, 1$ के लिए LCM खोजें फिर चर भाग $y^{1}$ के लिए LCM पता करें.

चरण 3.2.3

LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जिसे सभी संख्याएँ समान रूप से विभाजित करती हैं.

1. प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंडों की सूची बनाइए.

2. प्रत्येक गुणनखंड को किसी भी संख्या में जितनी बार आता है उतनी बार गुणा करें.

चरण 3.2.4

संख्या $1$ एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि इसका केवल एक धनात्मक गुणनखंड है, जो स्वयं है.

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 3.2.5

चूंकि $2$ का $1$ और $2$ के अलावा कोई गुणनखंड नहीं है.

$2$ एक अभाज्य संख्या है

चरण 3.2.6

अभाज्य संख्या नहीं

चरण 3.2.7

$1, 2, 1$ का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) सभी अभाज्य गुणन खंड में से किसी एक संख्या में आने वाली सबसे बड़ी संख्या को गुणा करने का परिणाम है.

$2$

चरण 3.2.8

$y^{1}$ का गुणनखंड $y$ ही है.

$y^{1} = y$

$y$ $1$ बार आता है.

चरण 3.2.9

$y^{1}$ का LCM (न्यूनतम सामान्य गुणक) सभी अभाज्य गुणन खंडों को किसी भी पद में जितनी बार वे आते हैं, गुणा करने का परिणाम है.

$y$

चरण 3.2.10

$y, 2, 1$ के लिए LCM (लघुत्तम समापवर्तक) संख्यात्मक भाग $2$ को चर भाग से गुणा किया जाता है.

$2 y$

चरण 3.3

भिन्नों को हटाने के लिए $- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{y} = - \frac{\sin (2 t)}{2} + K$ के प्रत्येक पद को $2 y$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$- \frac{1}{y}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.2.1.2

$2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.2.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.2.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.2.2

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 = - \frac{\sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1.1

$- \frac{\sin (2 t)}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.3.1.1.2

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

चरण 3.3.3.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 = \frac{- \sin (2 t)}{2} (2 y) + K (2 y)$

चरण 3.3.3.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 = - \sin (2 t) y + K (2 y)$

चरण 3.3.3.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- 2 = - \sin (2 t) y + 2 K y$

चरण 3.3.3.2

गुणनखंडों को $- \sin (2 t) y + 2 K y$ में पुन: क्रमित करें.

$- 2 = - y \sin (2 t) + 2 K y$

चरण 3.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

समीकरण को $- y \sin (2 t) + 2 K y = - 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$- y \sin (2 t) + 2 K y = - 2$

चरण 3.4.2

$- y \sin (2 t) + 2 K y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- y \sin (2 t)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \sin (2 t)) + 2 K y = - 2$

चरण 3.4.2.2

$2 K y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \sin (2 t)) + y (2 K) = - 2$

चरण 3.4.2.3

$y (- 1 \sin (2 t)) + y (2 K)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y (- 1 \sin (2 t) + 2 K) = - 2$

चरण 3.4.3

$- 1 \sin (2 t)$ को $- \sin (2 t)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$

चरण 3.4.4

$y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- \sin (2 t) + 2 K$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$y (- \sin (2 t) + 2 K) = - 2$ के प्रत्येक पद को $- \sin (2 t) + 2 K$ से विभाजित करें.

$\frac{y (- \sin (2 t) + 2 K)}{- \sin (2 t) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

चरण 3.4.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1

$- \sin (2 t) + 2 K$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y (- \sin (2 t) + 2 K)}{- \sin (2 t) + 2 K} = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

चरण 3.4.4.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{- 2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

चरण 3.4.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - \frac{2}{- \sin (2 t) + 2 K}$

चरण 3.4.4.3.2

$- \sin (2 t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t)) + 2 K}$

चरण 3.4.4.3.3

$2 K$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t)) - (- 2 K)}$

चरण 3.4.4.3.4

$- (\sin (2 t)) - (- 2 K)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y = - \frac{2}{- (\sin (2 t) - 2 K)}$

चरण 3.4.4.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.3.5.1

$- (\sin (2 t) - 2 K)$ को $- 1 (\sin (2 t) - 2 K)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = - \frac{2}{- 1 (\sin (2 t) - 2 K)}$

चरण 3.4.4.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = - - \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

चरण 3.4.4.3.5.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = 1 \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

चरण 3.4.4.3.5.4

$\frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{2}{\sin (2 t) - 2 K}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$

चरण 5

$t$ के लिए $0$ और $y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$ में $y$ के लिए $1$ को प्रतिस्थापित करके $K$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$1 = \frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K}$

चरण 6

$K$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $\frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K} = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2}{\sin (2 \cdot 0) + K} = 1$

चरण 6.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\sin (0) + K} = 1$

चरण 6.2.2

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$\frac{2}{0 + K} = 1$

चरण 6.2.3

$0$ और $K$ जोड़ें.

$\frac{2}{K} = 1$

चरण 6.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$K, 1$

चरण 6.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$K$

चरण 6.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{2}{K} = 1$ के प्रत्येक पद को $K$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$\frac{2}{K} = 1$ के प्रत्येक पद को $K$ से गुणा करें.

$\frac{2}{K} K = 1 K$

चरण 6.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1

$K$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{K} K = 1 K$

चरण 6.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 = 1 K$

चरण 6.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.3.1

$K$ को $1$ से गुणा करें.

$2 = K$

चरण 6.5

समीकरण को $K = 2$ के रूप में फिर से लिखें.

$K = 2$

चरण 7

$2$ को $y = \frac{2}{\sin (2 t) + K}$ में $K$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$2$ को $K$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{2}{\sin (2 t) + 2}$