कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $t y$ घटाएं.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

चरण 1.2

$y - t y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

चरण 1.2.2

$y^{1}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

चरण 1.2.3

$- t y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

चरण 1.2.4

$y \cdot 1 + y (- t)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

चरण 1.4

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

चरण 1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

चरण 2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

चरण 2.3.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

चरण 2.3.3

चूँकि $- 1$ बटे $t$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

चरण 2.3.4

घात नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t$ का समाकलन $\frac{1}{2} t^{2}$ है.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

चरण 2.3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

चरण 3.2

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

समीकरण को $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

चरण 3.3.2

$t^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

चरण 3.3.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

चरण 4

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ को $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

चरण 4.2

$e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ और $e^{C}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

चरण 4.3

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

चरण 5

$t$ के लिए $1$ और $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ में $y$ के लिए $3$ को प्रतिस्थापित करके $C$ का मान ज्ञात करने के लिए प्रारंभिक शर्त का उपयोग करें.

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

चरण 6

$C$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समीकरण को $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ के रूप में फिर से लिखें.

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

चरण 6.2.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

चरण 6.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

चरण 6.2.4

$- 1$ और $2$ जोड़ें.

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

चरण 6.3

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{1}{2}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$ के प्रत्येक पद को $e^{\frac{1}{2}}$ से विभाजित करें.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3.2.2

$C$ को $1$ से विभाजित करें.

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ को $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ में $C$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ को $C$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

चरण 7.2

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ और $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ को मिलाएं.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.3

$3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ में से $e^{\frac{1}{2}}$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.4

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$1$ से गुणा करें.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

चरण 7.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

चरण 7.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

चरण 7.4.4

$3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$