कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $x^{2} y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} y' + y (2 x)$

चरण 1.4

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.5

कोष्ठक हटा दें.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

चरण 1.6

$y$ ले जाएं.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

चरण 5

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cos^{2} (x)$ को $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 5.2

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

चरण 5.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

चरण 5.4

स्थिरांक नियम लागू करें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

चरण 5.5

मान लीजिए $u = 2 x$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

मान लें $u = 2 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 5.5.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 5.5.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 5.5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

चरण 5.6

$\cos (u)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

चरण 5.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

चरण 5.8

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का इंटीग्रल $\sin (u)$ है.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

चरण 5.9

सरल करें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

चरण 5.10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

चरण 5.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.1

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 5.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 5.11.3

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 5.11.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.11.4.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 5.11.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 5.12

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

चरण 6

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ के प्रत्येक पद को $x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.1

$\frac{1}{2} x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.4

$\frac{1}{4}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.6

जोड़ना.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

चरण 6.3.1.7

$\sin (2 x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$