कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.2

$e^{x}$ और $\sin (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.3

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \sin (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.4

$e^{x}$ और $\cos (x)$ को पुन: क्रमित करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \cos (x)$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.6

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.7

से गुणा करके सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.7.2

$\int e^{x} (\sin (x)) d x$ को $1$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.8

$\int e^{x} \sin (x) d x$ को हल करने पर, हम पाते हैं कि $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

चरण 2.3.9

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = \cos (x)$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

चरण 2.3.10

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का इंटीग्रल $- \cos (x)$ है.

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.1

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.1.1

$\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ और $x \sin (x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.1.1.1

$\cos (x)$ ले जाएं.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11.1.1.2

$x \sin (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11.1.1.3

$x \sin (x)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11.1.1.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11.1.2

$2$ को $x \sin (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

चरण 2.3.11.2

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

चरण 2.3.11.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.3.1

$\cos (x)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.11.3.2

$\cos (x)$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.11.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.11.3.4

$2$ को $\cos (x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

चरण 2.3.11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$