कैलकुलस उदाहरण

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

चरण 1

सटीक डिफरेन्शल इक्वेश़न तकनीक को फिट करने के लिए डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

फिर से लिखें.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

चरण 2

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = - (2 x y + x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

चरण 2.2

चूंकि $- 1$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $- (2 x y + x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 x y + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.4

चूंकि $2 x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 x y$ का व्युत्पन्न $2 x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

चरण 2.7

चूंकि $y$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

चरण 2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

चरण 2.8.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

चरण 3

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

चरण 4

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $- 2 x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $0$ प्रतिस्थापित करें.

$- 2 x = 0$

चरण 4.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$- 2 x = 0$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 5

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$0$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 5.2

$- 2 x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

चरण 5.3

$- (2 x y + x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- (2 x y + x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

चरण 5.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

चरण 5.3.2.2

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

चरण 5.3.3

$2 x y + x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$2 x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

चरण 5.3.3.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

चरण 5.3.3.3

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

चरण 5.3.3.4

$x (2 y) + x \cdot 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

चरण 5.3.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

चरण 5.3.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

चरण 5.3.5

$- (2 x y + x)$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$- \frac{2}{2 y + 1}$

चरण 5.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

चरण 6

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

चरण 6.2

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

चरण 6.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

चरण 6.4

मान लीजिए $u = 2 y + 1$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

मान लें $u = 2 y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.1

$2 y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

चरण 6.4.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.3.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 6.4.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 6.4.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 6.4.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

चरण 6.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

चरण 6.5.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

चरण 6.6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

चरण 6.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.1

$\frac{1}{2}$ और $- 2$ को मिलाएं.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2

$- 2$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.1

$- 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.7.2.2.1

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.7.2.2.4

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

चरण 6.8

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

चरण 6.9

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

चरण 6.10

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y + 1$ से बदलें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

चरण 6.11

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.11.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| 2 y + 1 |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

चरण 6.11.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

चरण 6.11.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

चरण 7

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{2 y + 1}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- (2 x y + x)$ को $\frac{1}{2 y + 1}$ से गुणा करें.

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.4

$- 2 x y - x$ को $\frac{1}{2 y + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.5

$- 2 x y - x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.5.1

$- 2 x y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.5.2

$- x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.5.3

$x (- 2 y) + x \cdot - 1$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6

$- 2 y - 1$ और $2 y + 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.6.1

$- 2 y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6.3

$- (2 y) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6.4

$- (2 y + 1)$ को $- 1 (2 y + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6.5

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

चरण 7.6.6

$x \cdot (- 1)$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

चरण 7.7

$- 1$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 1 x d x + y d y = 0$

चरण 7.8

$- 1 x$ को $- x$ के रूप में फिर से लिखें.

$- x d x + y d y = 0$

चरण 7.9

$y$ को $\frac{1}{2 y + 1}$ से गुणा करें.

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

चरण 7.10

$y$ और $\frac{1}{2 y + 1}$ को मिलाएं.

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

चरण 8

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int - x d x$

चरण 9

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = - x$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = - \int x d x$

चरण 9.2

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

चरण 9.3

$- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ को $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 10

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 12

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 12.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 12.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- \frac{1}{2} x^{2}$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- \frac{1}{2} x^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 12.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 12.5

$0$ और $\frac{d g}{d y}$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $\frac{y}{2 y + 1}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

चरण 13.3

$y$ को $2 y + 1$ से विभाजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.3.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$2 y$

$1$

$y$

$0$

चरण 13.3.2

भाज्य $y$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $2 y$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

चरण 13.3.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

चरण 13.3.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $y + \frac{1}{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

चरण 13.3.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

चरण 13.3.6

अंतिम उत्तर भागफल और भाजक पर शेषफल है.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

चरण 13.4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

चरण 13.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

चरण 13.6

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

चरण 13.7

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $y$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

चरण 13.8

कोष्ठक हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

चरण 13.9

मान लीजिए $u = 2 y + 1$ .फिर $d u = 2 d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1

मान लें $u = 2 y + 1$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1.1

$2 y + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

चरण 13.9.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $2 y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 13.9.1.3

$\frac{d}{d y} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1.3.1

चूंकि $2$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d y} [y]$ है.

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 13.9.1.3.2

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 13.9.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 13.9.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 13.9.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 13.9.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 13.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.10.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 13.10.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

चरण 13.10.3

$2$ को $u$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 13.11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 13.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.12.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 13.12.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 13.13

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

चरण 13.14

सरल करें.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

चरण 13.15

$u$ की सभी घटनाओं को $2 y + 1$ से बदलें.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

चरण 15

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.1

$x^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

चरण 15.1.2

$\frac{1}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

चरण 15.1.3

$- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1.3.1

$\ln (| 2 y + 1 |)$ और $\frac{1}{4}$ को पुन: क्रमित करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

चरण 15.1.3.2

$\frac{1}{4}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ को सरल करें.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

चरण 15.2

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

चरण 15.3

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 15.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

चरण 15.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1

$- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.1.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

चरण 15.5.1.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ को सरल करें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

चरण 15.5.2

घातांक को ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 15.5.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.5.2.2.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 15.5.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

चरण 15.5.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$