कैलकुलस उदाहरण

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = x y + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

चरण 1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $x y + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d y} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y]$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.3.3

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

चरण 1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

चरण 1.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = x + 4 y - 2$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4 y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.6.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.7

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

चरण 2.3.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$x + 4 y - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

चरण 2.3.8.2

$x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $x$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $2 x + 4 y - 2$ प्रतिस्थापित करें.

$x = 2 x + 4 y - 2$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$x = 2 x + 4 y - 2$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

चरण 4.2

$2 x + 4 y - 2$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

चरण 4.3

$x (x + 4 y - 2)$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$x (x + 4 y - 2)$ को $N$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.2.2.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.2.2.3

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.2.3

$x$ में से $2 x$ घटाएं.

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3

$- x - 4 y + 2$ और $x + 4 y - 2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.2

$- 4 y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.3

$- (x) - (4 y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.4

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.5

$- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.6

$- (x + 4 y - 2)$ को $- 1 (x + 4 y - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.7

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

चरण 4.3.3.8

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{x}$

चरण 4.3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{x}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

चरण 5.2

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 1$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- \ln (| x |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

चरण 5.4.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

चरण 6

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$x y + 1$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

चरण 6.2

$x y + 1$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

चरण 6.3

$x (x + 4 y - 2)$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.4

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

चरण 6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $N (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $N (x, y) = x + 4 y - 2$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

चरण 8.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

चरण 8.3

चूँकि $4$ बटे $y$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

चरण 8.4

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

चरण 8.5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

चरण 8.6

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

चरण 8.7

सरल करें.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

चरण 9

चूँकि $g (x)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (x)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial x}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.3.2

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.3.3

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2 y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.5

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d x}$ है.

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.6.1.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.6.1.2

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 11.6.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

चरण 12

$\frac{d g}{d x}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d x}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

चरण 12.1.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

भिन्न $\frac{x y + 1}{x}$ को दो भिन्नों में विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

चरण 12.1.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

चरण 12.1.2.2.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

चरण 12.1.3

$y + \frac{1}{x} - y$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.3.1

$y$ में से $y$ घटाएं.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

चरण 12.1.3.2

$\frac{1}{x}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 13

$g (x)$ को खोजने के लिए $\frac{1}{x}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d x} d x$ का मान ज्ञात करें.

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 13.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$g (x) = \ln (| x |) + C$

चरण 14

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ में $g (x)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$