कैलकुलस उदाहरण

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

चरण 1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ पता कीजिए जहां $M (x, y) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$M$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

चरण 2

$\frac{\partial N}{\partial x}$ पता कीजिए जहां $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$N$ को $x$ से अलग करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 + 3 x - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- y$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

चरण 2.5

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$0$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

चरण 2.5.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

चरण 3

उस $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ को जांचें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{\partial M}{\partial y}$ के लिए $1$ और $\frac{\partial N}{\partial x}$ के लिए $3$ प्रतिस्थापित करें.

$1 = 3$

चरण 3.2

चूँकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर नहीं है, समीकरण एक सर्वसमिका नहीं है.

$1 = 3$ कोई सर्वसमिका नहीं है.

चरण 4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$3$ को $\frac{\partial N}{\partial x}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

चरण 4.2

$1$ को $\frac{\partial M}{\partial y}$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - 1}{M}$

चरण 4.3

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{3 - 1}{y}$

चरण 4.3.2

$y$ को $M$ से प्रतिस्थापित करें.

$\frac{2}{y}$

चरण 4.4

इंटिग्रेशन गुणनखंड $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ खोजें.

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

चरण 5

इंटिग्रल $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ को पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

चरण 5.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{y}$ का इंटीग्रल $\ln (| y |)$ है.

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

चरण 5.3

सरल करें.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

चरण 5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (| y |)$ को सरल करें.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

चरण 5.4.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

चरण 5.4.3

${| y |}^{2}$ में निरपेक्ष मान हटा दें क्योंकि सम घात वाले घातांक हमेशा धनात्मक होते हैं.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

चरण 6

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ के दोनों पक्षों को इंटिग्रेशन गुणनखंड $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

चरण 6.2

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

चरण 6.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

चरण 6.2.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

चरण 6.3

$3 + 3 x - y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

चरण 6.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

चरण 6.5

घातांक जोड़कर $y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

$y^{2}$ ले जाएं.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

चरण 6.5.2

$y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

चरण 6.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

चरण 6.5.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

चरण 7

$f (x, y)$ को $M (x, y)$ के इंटीग्रल के बराबर सेट करें.

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

चरण 8

$f (x, y)$ को खोजने के लिए $M (x, y) = y^{3}$ को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

स्थिरांक नियम लागू करें.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

चरण 9

चूँकि $g (y)$ के इंटिग्रल में इंटिग्रेशन स्थिरांक होगा, हम $C$ को $g (y)$ से बदल सकते हैं.

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

चरण 10

$\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ सेट करें.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11

$\frac{\partial f}{\partial y}$ पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$f$ को $y$ से अलग करें.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3} x + g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ है.

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.3

$\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.3.1

चूंकि $x$ , $y$ के संबंध में स्थिर है, $y$ के संबंध में $y^{3} x$ का व्युत्पन्न $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ है.

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.3.3

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.4

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $g (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d g}{d y}$ है.

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 11.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

चरण 12

$\frac{d g}{d y}$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

$\frac{d g}{d y}$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

चरण 12.1.2

$3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.2.1

गुणनखंडों को $3 x y^{2}$ और $- 3 y^{2} x$ पदों में पुन: व्यवस्थित करें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

चरण 12.1.2.2

$3 y^{2} x$ में से $3 y^{2} x$ घटाएं.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

चरण 12.1.2.3

$3 y^{2} - y^{3}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

चरण 13

$g (y)$ को खोजने के लिए $3 y^{2} - y^{3}$ का विरोधी व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ के दोनों पक्षों को समाकलित करें.

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

चरण 13.2

$\int \frac{d g}{d y} d y$ का मान ज्ञात करें.

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

चरण 13.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

चरण 13.4

चूँकि $3$ बटे $y$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

चरण 13.5

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} y^{3}$ है.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

चरण 13.6

चूँकि $- 1$ बटे $y$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

चरण 13.7

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} y^{4}$ है.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

चरण 13.8

सरल करें.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 13.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.1

$3$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 13.9.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.9.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 13.9.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 13.9.3

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 14

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ में $g (y)$ को प्रतिस्थापित करें.

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

चरण 15

$y^{4}$ और $\frac{1}{4}$ को मिलाएं.

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$