कैलकुलस उदाहरण

$2 x y y' = 1 + y^{2}$

चरण 1

डिफरेन्शल इक्वेश़न को फिर से लिखें

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

चरण 2

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 x y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ के प्रत्येक पद को $2 x y$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2.3

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.2.3.2

$\frac{d y}{d x}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$y^{2}$ और $y$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

$y^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

चरण 2.1.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.2.1

$2 x y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

चरण 2.1.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

चरण 2.1.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x}$

चरण 2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{y}{2 x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{y}$

चरण 2.2.2

$\frac{y}{2 x}$ को $\frac{y}{y}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

चरण 2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{2 x y}$

चरण 2.2.4

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 x y}$

चरण 2.3

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 2.4

दोनों पक्षों को $\frac{2 y}{1 + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\frac{1 + y^{2}}{2 y}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

चरण 2.5.2

$2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2 y x$ में से $2 y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y (x)}$

चरण 2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

चरण 2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

चरण 2.5.3

$1 + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

चरण 2.5.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 2.6

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

चरण 3

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूँकि $2$ बटे $y$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$2 \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.2

मान लीजिए $u = 1 + y^{2}$ .फिर $d u = 2 y d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = y d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

मान लें $u = 1 + y^{2}$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

$1 + y^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

चरण 3.2.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $1 + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 3.2.2.1.3

चूंकि $y$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

चरण 3.2.2.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 y$

चरण 3.2.2.1.5

$0$ और $2 y$ जोड़ें.

$2 y$

चरण 3.2.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.3.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.4

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.1

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.5.3

$\int \frac{1}{u} d u$ को $1$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.2.7

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + y^{2}$ से बदलें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 3.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 3.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

चरण 4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

चरण 4.2

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$

चरण 4.3

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

चरण 4.4

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}$

चरण 4.5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

समीकरण को $\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$

चरण 4.5.2

दोनों पक्षों को $| x |$ से गुणा करें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

चरण 4.5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1

$| x |$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

चरण 4.5.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$| 1 + y^{2} | = e^{C} | x |$

चरण 4.5.4

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

गुणनखंडों को $e^{C} | x |$ में पुन: क्रमित करें.

$| 1 + y^{2} | = | x | e^{C}$

चरण 4.5.4.2

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$1 + y^{2} = \pm | x | e^{C}$

चरण 4.5.4.3

गुणनखंडों को $\pm | x | e^{C}$ में पुन: क्रमित करें.

$1 + y^{2} = \pm e^{C} | x |$

चरण 4.5.4.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$y^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

चरण 4.5.4.5

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

चरण 5

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

चरण 5.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = \pm \sqrt{C | x | - 1}$