कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

चरण 1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

$2 y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

चरण 1.2.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

चरण 1.2.1.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

चरण 1.2.2

$6 x - x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$6 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

चरण 1.2.2.2

$- x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

चरण 1.2.2.3

$x \cdot 6 + x (- x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

चरण 1.3

समीकरण को फिर से लिखें.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

चरण 2.2

घात नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y$ का समाकलन $\frac{1}{2} y^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

चरण 2.3.2

मान लीजिए $u = 6 - x^{2}$ .फिर $d u = - 2 x d x$ , तो $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

मान लें $u = 6 - x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$6 - x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 - (2 x)$

चरण 2.3.2.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 2 x$

चरण 2.3.2.1.4

$0$ में से $2 x$ घटाएं.

$- 2 x$

चरण 2.3.2.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

चरण 2.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

चरण 2.3.3.2

$u$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

चरण 2.3.4

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

चरण 2.3.5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

चरण 2.3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

चरण 2.3.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

चरण 2.3.7

घात नियम के अनुसार, $u$ के संबंध में $u$ का समाकलन $\frac{1}{2} u^{2}$ है.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

चरण 2.3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.1

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ को $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.8.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.8.2.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{1}{4}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.8.2.2

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

चरण 2.3.9

$u$ की सभी घटनाओं को $6 - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $K$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

$2 (\frac{1}{2} y^{2})$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ और $y^{2}$ को मिलाएं.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

चरण 3.2.1.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

चरण 3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ और $\frac{1}{8}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

चरण 3.2.2.1.2

$K$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{8}{8}$ से गुणा करें.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

चरण 3.2.2.1.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.1

$K$ और $\frac{8}{8}$ को मिलाएं.

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

चरण 3.2.2.1.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

चरण 3.2.2.1.3.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.3.3.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

चरण 3.2.2.1.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

चरण 3.2.2.1.3.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

चरण 3.2.2.1.4

$8$ को $K$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

चरण 3.2.2.1.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.5.1

$- {(6 - x^{2})}^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

चरण 3.2.2.1.5.2

$8 K$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

चरण 3.2.2.1.5.3

$- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

चरण 3.2.2.1.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.5.4.1

$- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ को $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

चरण 3.2.2.1.5.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

चरण 3.3

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4

$\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

${(6 - x^{2})}^{2}$ को $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.1

$6$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.2

$- 1$ को $6$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.3

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1.5.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.5.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.5.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.6

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.1.7

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.3.2

$- 6 x^{2}$ में से $6 x^{2}$ घटाएं.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

चरण 3.4.4

$- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ को ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.4.1

$36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ में से पूर्ण घात $1^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

चरण 3.4.4.2

$4$ में से पूर्ण घात $2^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

चरण 3.4.4.3

भिन्न को पुनर्व्यवस्थित करें $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

चरण 3.4.4.4

$- 1$ और ${(\frac{1}{2})}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

चरण 3.4.4.5

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

चरण 3.4.4.6

कोष्ठक लगाएं.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

चरण 3.4.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

चरण 3.4.6

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

चरण 3.4.7

$\frac{1}{2}$ और $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ को मिलाएं.

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

चरण 3.5

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

चरण 3.5.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

चरण 3.5.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$