कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 1.2

दोनों पक्षों को $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ से गुणा करें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

चरण 1.3.2

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$(y - 1) x$ में से $y - 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

चरण 1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

चरण 1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

चरण 1.3.3

$y (y - 2)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

चरण 1.3.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

चरण 1.4

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

मान लीजिए $u = y (y - 2)$ .फिर $d u = (2 y - 2) d y$ , तो $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

मान लें $u = y (y - 2)$ . $\frac{d u}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

$y (y - 2)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

चरण 2.2.1.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ है, जहाँ $f (y) = y$ और $g (y) = y - 2$ है.

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.1

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ है.

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.3

चूंकि $y$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.4.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

चरण 2.2.1.1.3.5

$y + (y - 2) \cdot 1$

चरण 2.2.1.1.3.6

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.3.6.1

$y - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$y + y - 2$

चरण 2.2.1.1.3.6.2

$y$ और $y$ जोड़ें.

$2 y - 2$

चरण 2.2.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.2.6

$u$ की सभी घटनाओं को $y (y - 2)$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

चरण 2.3

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$