कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

चरण 1

चरों को अलग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$4 x + x y^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$4 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

चरण 1.1.2

$x y^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

चरण 1.1.3

$x \cdot 4 + x (y^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

चरण 1.1.4

$x$ को $4 + y^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

चरण 1.2

गुणनखंडों को पुनर्समूहन करें

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

चरण 1.3

दोनों पक्षों को $\frac{1}{4 + y^{2}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

चरण 1.4

$4 + y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ में से $4 + y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

चरण 1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

चरण 1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

चरण 1.5

समीकरण को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.2

$y$ के संबंध में $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ का इंटीग्रल $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ है.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.3

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

$\frac{1}{2}$ और $\arctan (\frac{y}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2.2.3.2

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ को $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = 2 + x^{2}$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = 2 + x^{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$2 + x^{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.3.1.1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$0 + 2 x$

चरण 2.3.1.1.5

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2.3.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 2.3.2.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

चरण 2.3.4

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

चरण 2.3.5

सरल करें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

चरण 2.3.6

$u$ की सभी घटनाओं को $2 + x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ के प्रत्येक पद को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ के प्रत्येक पद को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.2.2

$\frac{1}{2}$ और $\arctan (\frac{y}{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.2.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.1

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ को सरल करें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.2

$\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.2.1

$\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ और $2$ को पुन: क्रमित करें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.2.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.3

घातांक को ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.3.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.4

सरल करें.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

चरण 3.1.3.1.5

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

चरण 3.2

चाप स्पर्शरेखा के अंदर से $y$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का व्युत्क्रम चाप स्पर्शरेखा लें.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

चरण 3.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

चरण 3.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

चरण 3.4.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

चरण 4

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$