कैलकुलस उदाहरण

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

चरण 1

जाँच करें कि क्या समीकरण का बायाँ पक्ष $(1 + x^{2}) y$ पद के व्युत्पन्न का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 1 + x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

चरण 1.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

चरण 1.6

$0$ और $2 x$ जोड़ें.

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

चरण 1.7

$\frac{d y}{d x}$ को $y'$ से प्रतिस्थापित करें.

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.8

$1$ और $x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

चरण 1.9

कोष्ठक हटा दें.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

चरण 1.10

$y$ ले जाएं.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

चरण 2

किसी गुणन में अंतर करने के परिणामस्वरूप बाईं ओर फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

चरण 3

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

चरण 4

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

चरण 5

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

चरण 6

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ के प्रत्येक पद को $1 + x^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$1 + x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1.1

$\frac{1}{2}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.3.1.2

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.3.1.3

$\frac{x^{2}}{2}$ को $\frac{1}{1 + x^{2}}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

चरण 6.3.2

$\frac{C}{1 + x^{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

चरण 6.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $2 (1 + x^{2})$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$\frac{C}{1 + x^{2}}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

चरण 6.3.3.2

$(1 + x^{2}) \cdot 2$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

चरण 6.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

चरण 6.3.5

$2$ को $C$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$