कैलकुलस उदाहरण

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों से $(y + 2) d x$ घटाएं.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$3 x + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

चरण 3.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3

$y + 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.2

$(3 x + 2) (y + 2)$ में से $y + 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

चरण 3.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

चरण 3.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4.2

बाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

मान लीजिए $u_{1} = y + 2$ . फिर $d u_{1} = d y$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

मान लें $u_{1} = y + 2$ . $\frac{d u_{1}}{d y}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$y + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

चरण 4.2.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $y$ के संबंध में $y + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ है.

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.2.1.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ $n y^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

चरण 4.2.1.1.4

चूंकि $y$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $y$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$1 + 0$

चरण 4.2.1.1.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$1$

चरण 4.2.1.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{1}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{1} |)$ है.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y + 2$ से बदलें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

चरण 4.3.2

मान लीजिए $u_{2} = 3 x + 2$ .फिर $d u_{2} = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

मान लें $u_{2} = 3 x + 2$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.1

$3 x + 2$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

चरण 4.3.2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.3.2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.3.2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.3.2.1.3.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

चरण 4.3.2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 + 0$

चरण 4.3.2.1.4.2

$3$ और $0$ जोड़ें.

$3$

चरण 4.3.2.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

चरण 4.3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ को $\frac{1}{3}$ से गुणा करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

चरण 4.3.3.2

$3$ को $u_{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

चरण 4.3.4

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

चरण 4.3.5

$u_{2}$ के संबंध में $\frac{1}{u_{2}}$ का इंटीग्रल $\ln (| u_{2} |)$ है.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

चरण 4.3.6

सरल करें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

चरण 4.3.7

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $3 x + 2$ से बदलें.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

चरण 4.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

चरण 5

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\ln (| 3 x + 2 |)$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

चरण 5.2

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.3

$\ln (| y + 2 |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$\ln (| y + 2 |)$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.4.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.5

$3$ को $\ln (| y + 2 |)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.6

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.1.1

$3$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $3 \ln (| y + 2 |)$ को सरल करें.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.6.1.1.2

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

चरण 5.6.1.2

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ को $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

चरण 5.6.1.3

$\frac{1}{3}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ को सरल करें.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.4

उत्पाद नियम को ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ पर लागू करें.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.5

घातांक को ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1.5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.6

सरल करें.

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

चरण 5.6.1.7

गुणनखंडों को $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ में पुन: क्रमित करें.

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

चरण 5.7

$y$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

चरण 5.8

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

चरण 5.9

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

समीकरण को ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ के रूप में फिर से लिखें.

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

चरण 5.9.2

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ के प्रत्येक पद को ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ से विभाजित करें.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 5.9.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 5.9.2.2.2

$| y + 2 |$ को $1$ से विभाजित करें.

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 5.9.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

चरण 5.9.4

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

चरण 6

स्थिर पदों को एक साथ समूहित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

समाकलन की संतति को सरल करें.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

चरण 6.2

प्लस या माइनस के साथ स्थिरांक मिलाएं.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$