कैलकुलस उदाहरण

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

चरण 1

समीकरण को फिर से लिखें.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

चरण 2

दोनों पक्षों को समाकलित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

प्रत्येक पक्ष का एक समाकलन सेट करें.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

चरण 2.2

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

चरण 2.3

दाएं पक्ष का समाकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

मान लीजिए $u = c x + d$ .फिर $d u = c d x$ , तो $\frac{1}{c} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

मान लें $u = c x + d$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.1

$c x + d$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

चरण 2.3.1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $c x + d$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ है.

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

चरण 2.3.1.1.3

$\frac{d}{d x} [c x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.3.1

चूंकि $c$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $c x$ का व्युत्पन्न $c \frac{d}{d x} [x]$ है.

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

चरण 2.3.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

चरण 2.3.1.1.3.3

$c$ को $1$ से गुणा करें.

$c + \frac{d}{d x} [d]$

चरण 2.3.1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $d$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $d$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$c + 0$

चरण 2.3.1.1.4.2

$c$ और $0$ जोड़ें.

$c$

चरण 2.3.1.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

चरण 2.3.2

$\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ को $\frac{1}{c}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

चरण 2.3.3

चूँकि $\frac{1}{c}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{c}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

चरण 2.3.4

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

चरण 2.3.5

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.6

चूँकि $a$ बटे $u$ अचर है, $a$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.1

$\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ को $\frac{c}{c}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.2

जोड़ना.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.4

$c$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.5

$c$ और $\frac{d}{c}$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.6

$c$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.7.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.7.6.2

$d$ को $1$ से विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.8

चूँकि $\frac{1}{c}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{c}$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.9

भिन्न को अनेक भिन्नों में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.11

$u$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.12

स्थिरांक नियम लागू करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.13

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.14

चूँकि $- 1$ बटे $u$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.15

चूँकि $d$ बटे $u$ अचर है, $d$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.16

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.17

$\frac{1}{c}$ और $a$ को मिलाएं.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

चरण 2.3.18

चूँकि $b$ बटे $u$ अचर है, $b$ को समाकलन से हटा दें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 2.3.19

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

चरण 2.3.20

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.20.1

सरल करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

चरण 2.3.20.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.20.2.1

$b \ln (| u |)$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{c}{c}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.3

$\frac{1}{c}$ को $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ से गुणा करें.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.4

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.5

$c$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

चरण 2.3.20.2.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

चरण 2.3.21

$u$ की सभी घटनाओं को $c x + d$ से बदलें.

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

चरण 2.4

समाकलन के स्थिरांक को दाईं ओर $C$ के रूप में समूहित करें.

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$